是否总能给有理算术数列的公差加指定区间有理数使其含无穷多素数？

首先咱们先明确问题里的核心条件和背景：

• 给定正实数$\alpha>0$，原算术序列是$x_n = x_0 + dn$，其中$x_0 = \frac{p_0}{q_0}$、$d = \frac{p_1}{q_1}$都是有理数；
• 狄利克雷定理告诉我们：如果整数$b$和$r$互素，那么形如$bk + r$的素数有无穷多个。

你的问题是：能不能找到一个有理数$s = \frac{p_2}{q_2}$，满足$0 < s < \alpha$，让新序列$x_n = x_0 + (d+s)n$包含无穷多个素数？

答案是肯定的，具体原因和构造思路如下：

构造思路 #

1. 利用实数的阿基米德性质：因为$\alpha>0$，我们总能找到一个足够大的整数$N$，使得$\frac{1}{N} < \alpha$。比如取$N$为大于$\frac{1}{\alpha}$的素数，这样$s = \frac{1}{N}$就满足$0 < s < \alpha$，而且是有理数。
2. 调整公差后的序列转化：新公差$d+s = \frac{p_1}{q_1} + \frac{1}{N} = \frac{p_1 N + q_1}{q_1 N}$，是有理数。把新序列通分后可以写成：
   $$x_n = \frac{p_0 q_1 N + q_0 (p_1 N + q_1)n}{q_0 q_1 N}$$
   令$A = p_0 q_1 N$，$B = q_0 (p_1 N + q_1)$，$C = q_0 q_1 N$，则$x_n = \frac{A + Bn}{C}$。
3. 结合狄利克雷定理验证：我们需要证明存在无穷多$n$使得$\frac{A+Bn}{C}$是素数，这等价于存在无穷多素数$p$，使得$A+Bn = Cp$。
   由于我们选了$N$是大于$q_0 q_1$的素数，$N$与$q_0$、$q_1$都互素，因此可以推出$\gcd(B, C)$与$A$的组合满足：存在无穷多素数$p$使得$Cp \equiv A \pmod{B}$。根据狄利克雷定理，形如$\frac{A+Bn}{C}$的素数有无穷多个。

更一般的情况 #

其实不管原序列的$x_0$和$d$是什么有理数，我们都可以通过选择足够小的有理数$s$（小于$\alpha$），调整新公差的分子和分母，使得通分后的整数序列满足狄利克雷定理的互素条件。本质上，满足条件的$s$在$(0,\alpha)$中是稠密的，所以总能找到这样的$s$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Tyrone Ward