求证或反驳∫ₐ^∞fᵖ(x)dx收敛及相关积分收敛性问题

咱们来逐个拆解这两个问题，结合反例和直观理解来分析：

问题1：已知$\int_a^\infty f(x)dx$收敛，是否$\int_a^\infty f^p(x)dx$一定收敛？ #

结论：不一定，存在反例可以直接反驳这个命题

我构造一个具体的正连续函数来验证：
定义在$[1, \infty)$上的函数$f(x)$：

• 当$x \in [n, n + 1/n^3)$（$n$为正整数）时，$f(x) = n$；
• 在其余区间上，$f(x) = 1/x^2$。

先验证原积分的收敛性：
把积分拆成三部分计算：
∫₁^∞ f(x)dx = Σₙ=1^∞ ∫ₙ^{n+1/n³} n dx + ∫₁^∞ 1/x² dx - Σₙ=1^∞ ∫ₙ^{n+1/n³} 1/x² dx
第一部分的每个项是$n*(1/n^3)=1/n2$，级数$\Sigma 1/n^{2$收敛；剩余部分的$\int_1}\infty 1/x^2 dx$显然收敛；最后减去的部分每个项$\leq 1/n^2*(1/n3)=1/n^5$，对应的级数也收敛。因此整个原积分是收敛的。

但看$p=2$时的幂次积分$\int_1^\infty f^2(x)dx$：
在区间$[n, n+1/n^3)$上，$f2(x)=n^{2$，积分项为$n}2*(1/n^3)=1/n$，而级数$\Sigma 1/n$是发散的；剩余部分的$\int_1^\infty 1/x^4 dx$收敛，但发散项主导了整个积分，因此$\int_1^\infty f^2(x)dx$发散。

直观来说，$f(x)$在一些极小的区间上取很大的值——这些区间的长度足够小，让原积分能收敛，但当取$p$次幂（$p>1$）时，大值的增长速度超过了区间长度的衰减速度，直接导致幂次积分发散。

问题2：是否存在$0<c<1$，使得对所有$c≤p≤1$，$\int_a^\infty f^p(x)dx$都收敛？ #

结论：不一定存在这样的$c$，同样可以构造反例说明

考虑定义在$[1, \infty)$上的函数$f(x)$：

• 对于每个整数$k≥2$，当$x \in [k, k + 1/(k (\ln k)^2)]$时，$f(x) = (\ln k)^{\ln k}$；
• 其余区间上，$f(x)=1/x^2$。

先验证原积分收敛：
每个区间$[k, k+1/(k(\ln k)^2)]$上的积分项是$(\ln k)^{\ln k} * 1/(k(\ln k)^2) = k^{\ln \ln k}/(k(\ln k)^2) = k^{\ln \ln k -1}/(\ln k)^2$。当$k$足够大时，$\ln \ln k -1 <0$（因为$\ln \ln k$增长极慢），所以这个项趋向0，且对应的级数收敛；剩余部分的$\int_1^\infty 1/x^2 dx$收敛，因此原积分收敛。

现在看幂次积分：对于任意给定的$0<c<1$，取$p=c + (1-c)/2 \in (c,1)$，当$k$足够大时，$f^p(x)=(\ln k)^{p \ln k}=k^{p \ln \ln k}$，对应的积分项为$k^{p \ln \ln k}/(k(\ln k)^2)=k{p \ln \ln k -1}/(\ln k)^2$。当$k$足够大时，$p \ln \ln k -1 >0$（因为$\ln \ln k$趋向无穷大），所以这个项趋向无穷大，对应的级数发散，因此$\int_1^\infty f^p(x)dx$发散。

这就说明，无论你选多接近1的$c$，总能找到$p∈[c,1)$使得幂次积分发散，自然不存在满足条件的$c$。

当然，像$f(x)=1/x^{\alpha$（$\alpha>1$）这类函数确实满足题目中的结论——当$\int_a}\infty f(x)dx$收敛时，取$p∈[1/\alpha,1]$，$\int_a^\infty f^{p(x)dx=\int_a}\infty 1/x^{\alpha p}dx$，因为$\alpha p>1$，积分收敛。但这只是特殊情况，不是所有正连续函数都有这个性质。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Theorem