如何求解矩阵方程$X^{T}AX=B$中的非方阵$X$？

好问题！这个方程属于矩阵方程里的二次型匹配问题，因为$m>n$，$X$是长方矩阵，解的存在性和构造方法得先从方程的结构和矩阵的性质入手，我给你拆解一下：

• 首先，左边$X^T A X$的转置是$X^T A^T X$，所以要等于$B$的话，$B$必须是对称矩阵，否则直接无解。
• 其次，根据Sylvester惯性定理，二次型$X^T A X$的惯性指数（正、负、零特征值的个数）必须和$B$完全匹配。举个常见的例子：如果$A$是正定矩阵（所有特征值>0），那$B$必须是半正定矩阵（所有特征值≥0），否则没有解；如果$A$是不定矩阵，那$B$的正、负特征值个数不能超过$A$的对应个数。

最常用的思路是通过矩阵分解把原方程转化为更容易求解的形式，这里分两种常见场景：

场景1：A是对称正定矩阵 #

这是最容易处理的情况，步骤清晰明了：

1. 对$A$做Cholesky分解：$A = L L^T$，其中$L$是$m×m$的下三角正定矩阵（这种分解在正定矩阵下唯一存在）。
2. 原方程转化为：$(L^T X)^T (L^T X) = B$。令$Y = L^T X$（$Y$是$m×n$矩阵），问题瞬间简化为求$Y$满足$Y^T Y = B$。
3. 对$B$做SVD分解：$B = U \Sigma U^T$，其中$U$是$n×n$正交矩阵，$\Sigma$是$n×n$对角矩阵，对角元是$B$的非负特征值$\sigma_1, \sigma_2, ..., \sigma_n$。
4. 构造$Y$：取$Y = \begin{bmatrix} U \Sigma^{1/2} U^T \ 0_{(m-n)×n} \end{bmatrix}$，其中$\Sigma^{{1/2}$是$\Sigma$的元素开平方后的对角矩阵。你可以验证一下：$Y}T Y = (U \Sigma^{1/2} U^T)T (U \Sigma^{1/2} U^T) = U \Sigma^{1/2} U^T U \Sigma^{1/2} U^T = U \Sigma U^T = B$，完全符合要求。
5. 最后求$X$：因为$Y = L^T X$，所以$X = (L^T){-1} Y = (L^{-1})T Y$。$L$是下三角阵，求逆非常高效，不用算全矩阵逆。

场景2：A是对称矩阵（不一定正定） #

这时候用特征分解更灵活：

1. 对$A$做特征分解：$A = Q \Lambda Q^T$，其中$Q$是$m×m$正交矩阵，$\Lambda$是对角矩阵，对角元是$A$的特征值$\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_m$。
2. 令$Z = Q^T X$（$Z$是$m×n$矩阵），原方程转化为：$Z^T \Lambda Z = B$。
3. 把$\Lambda$拆成$\Lambda = \Lambda_+ - \Lambda_- + \Lambda_0$，其中$\Lambda_+$是正特征值的对角阵，$\Lambda_-$是负特征值的绝对值对角阵，$\Lambda_0$是零特征值对角阵。对应的$Z$也分成$Z = [Z_+^T, Z_-^T, Z_0^T]T$，分别对应$\Lambda_+$、$\Lambda_-$、$\Lambda_0$的行。
4. 方程变为：$Z_+^T \Lambda_+ Z_+ - Z_-^T \Lambda_- Z_- = B$。这时候必须满足：$B$的正特征值个数≤$A$的正特征值个数，负特征值个数≤$A$的负特征值个数，否则无解。
5. 构造$Z_+$和$Z_-$：先对$B$做特征分解$B = U \Sigma U^T$，其中$\Sigma = \Sigma_+ - \Sigma_-$（$\Sigma_+$是正特征值对角阵，$\Sigma_-$是负特征值绝对值对角阵）。令$Z_+ = \Lambda_+^{-1/2} U \Sigma_+^{1/2}$，$Z_- = \Lambda_-^{-1/2} U \Sigma_-^{1/2}$，$Z_0$可以取任意$k×n$矩阵（$k$是$A$的零特征值个数）。
6. 最后$X = Q Z$，把$Z_+$、$Z_-$、$Z_0$组合起来代入即可。

因为$m>n$，$X$是长方矩阵，所以解不是唯一的。比如在场景1中，$Y$的后面$m-n$行不一定全为零，只要满足$Y^T Y = B$就行；甚至可以在$Y$左边乘一个$m×m$的正交矩阵$O$，因为$(O Y)^T (O Y) = Y^T O^T O Y = Y^T Y = B$，所以$X = (L^{-1})T O Y$也是合法解。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Mathnoob