已知三日收入求30天总收入：序列规律推导问询

嘿，咱们一步步拆解这个问题，先从你提到的序列说起：

你给出的序列 1, 1+3, 1+3+6, 1+3+6+10 其实是四面体数（Tetrahedral Numbers），本质是「三角数的累加和」，咱们拆解来看：

• 第1项 1：是第1个三角数（三角数的公式是 $T_k = \frac{k(k+1)}{2}$，当$k=1$时，$T_1=1$）
• 第2项 1+3：是前2个三角数的和（第2个三角数$T_2=3$），结果为4
• 第3项 1+3+6：是前3个三角数的和（第3个三角数$T_3=6$），结果为10
• 第4项 1+3+6+10：是前4个三角数的和（第4个三角数$T_4=10$），结果为20

这个序列的通项公式可以通过求和推导出来：
$$
\text{Tetra}(n) = \sum_{k=1}^n T_k = \sum_{k=1}^n \frac{k(k+1)}{2} = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}
$$

你提到「第1天收入1美元，第2天收入4美元，第3天收入10美元」，这里大概率是把累计到当天的总收入误写成了「当天的单日收入」。如果是累计收入的话，完全匹配上面的四面体数序列：

• 累计到第1天：1美元（对应$\text{Tetra}(1)=1$）
• 累计到第2天：4美元（对应$\text{Tetra}(2)=4$）
• 累计到第3天：10美元（对应$\text{Tetra}(3)=10$）

按照四面体数公式计算，第30个四面体数（也就是累计30天的收入）应该是：
$$
\text{Tetra}(30) = \frac{30 \times 31 \times 32}{6} = 4960
$$
这和你给出的1335不符，可能存在两种常见误差：

1. 描述混淆：你可能把「单日收入」和「累计收入」搞反了，或者把天数写错了——比如第19个四面体数是$\frac{19 \times 20 \times 21}{6}=1330$，和1335非常接近，大概率是笔误；
2. 规律理解偏差：如果「单日收入」是这个四面体数序列，那30天的总收入是四面体数的累加（也就是五面体数），公式为$\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}$，代入n=30得到40920，显然也不是1335。

如果你的核心是确认这个序列的规律，推导步骤是：

• 先观察相邻项的差值：4-1=3，10-4=6，20-10=10……这些差值正好是三角数序列；
• 回忆三角数的通项公式$\frac{k(k+1)}{2}$，明确原序列是三角数的前缀和；
• 通过展开求和式，利用等差数列求和、平方和公式化简，最终得到四面体数的通项公式。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Angelo Mark