求解不等式推导y与x的关系（含近似阶形式）

首先，我们的目标是找到x→∞时y关于x的近似阶，使得不等式：
$$\frac{x^2}{2y} - x + y - y\Big(1-\frac 1{y}\Big)^x \leq \frac 1{2}$$
成立（尤其关注不等式接近等号的临界情况，这对应满足条件的y的最小阶）。

步骤1：近似核心指数项 #

先处理最复杂的$\Big(1-\frac{1}{y}\Big)^x$项，利用对数-指数转换和泰勒展开简化：

• 假设y随x增长且$y>1$（若y过小，$(1-1/y)$为负，x为正整数时会出现符号波动，不符合大x下的渐近分析场景），对对数项做泰勒展开：
  $$\ln\left(1-\frac{1}{y}\right) = -\frac{1}{y} - \frac{1}{2y^2} - \frac{1}{3y^3} - \dots$$
• 转换为指数形式后，若$\frac{x}{y} \ll 1$（即y的阶高于x），对指数函数做三阶泰勒展开（低阶展开会导致项完全抵消，无法得到有效信息）：
  $$\left(1-\frac{1}{y}\right)^x = e^{x\ln\left(1-\frac{1}{y}\right)} \approx 1 - \frac{x}{y} + \frac{x^2}{2y2} - \frac{x^3}{6y3}$$

步骤2：代入不等式并抵消冗余项 #

将上述近似代入原不等式，展开后整理：
$$\frac{x^2}{2y} -x + y - y\left(1 - \frac{x}{y} + \frac{x^2}{2y2} - \frac{x^3}{6y3}\right) \approx \frac{1}{2}$$
展开第四项后可以看到：

• $\frac{x^{2}{2y}$与$-\frac{x}2}{2y}$抵消，$-x$与$+x$抵消，$y$与$-y$抵消
• 最终剩下的非零主导项为$\frac{x^3}{6y2}$

此时近似等式简化为：
$$\frac{x^3}{6y2} \approx \frac{1}{2}$$

步骤3：求解y的渐近阶 #

从上述近似等式解出y的形式：
$$y^2 \approx \frac{x^3}{3} \implies y \approx \frac{x^{3/2}}{\sqrt{3}}$$
这说明当x→∞时，满足不等式（且接近等号）的y的渐近阶为$y = O(x^{3/2})$。

步骤4：验证阶的合理性 #

• 若$y = o(x^{{3/2})$（y的阶低于$x}{3/2}$），则$\frac{x^3}{y2} \to \infty$，不等式左侧会趋向+∞，不满足$\leq \frac{1}{2}$；
• 若$y = \Omega(x^{{3/2})$（y的阶高于或等于$x}{3/2}$），则$\frac{x^3}{y2} \to 0$或为常数，左侧≤常数，满足不等式。

因此，不等式成立的y的最小渐近阶是$y \sim C x^{3/2}$（C为正常数）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者john doe