已知两个二次方程的根，求指定代数表达式的值（求解遇阻）

嘿，我猜你可能是输入的时候手滑了——目标表达式的最后一项应该是$(b-a')^2$吧？如果是这样的话，这个问题用韦达定理就能顺利解出来，咱们一步步来：

第一步：明确韦达定理的结论 #

已知：

• 对于方程$x^2-px+q=0$，两根$a,b$满足：
  • $a+b=p$
  • $ab=q$
• 对于方程$x^2-p'x+q'=0$，两根$a',b'$满足：
  • $a'+b'=p'$
  • $a'b'=q'$

第二步：展开并整理目标表达式 #

假设目标表达式是$E=(a-a')^2+(b-b')2+(a-b')^2+(b-a')2$，我们先展开每一项：

(a-a')² = a² - 2aa' + a'²
(b-b')² = b² - 2bb' + b'²
(a-b')² = a² - 2ab' + b'²
(b-a')² = b² - 2ba' + a'²

把所有项加起来并合并同类项：

E = 2a² + 2b² + 2a'² + 2b'² - 2(aa' + bb' + ab' + ba')

第三步：用韦达定理替换平方项和交叉项 #

首先，平方和可以用“和的平方减两倍积”来转化：

• $a²+b²=(a+b)^2-2ab=p²-2q$
• $a'^2+b'2=(a'+b')^2-2a'b'=p'2-2q'$

然后处理交叉项部分，咱们提取公因式简化：

aa' + bb' + ab' + ba' = a(a'+b') + b(a'+b') = (a+b)(a'+b') = p \cdot p'

把这些代入$E$的表达式：

E = 2(p²-2q) + 2(p'^2-2q') - 2(p \cdot p')

第四步：化简最终结果 #

展开并整理后就能得到只含$p,q,p',q'$的结果：

E = 2p² - 4q + 2p'^2 - 4q' - 2pp'
E = 2(p² - pp' + p'^2) - 4(q + q')

关于你写的原表达式 #

如果你确实是要计算$(a-a')^2+(b-b')2+(a-b')^2+(b-a)2$，那这个表达式里会残留$a$或$b$这样的根项，没法完全用$p,q,p',q'$表示（因为最后一项$(b-a)^2$和前三项的结构不对称），所以大概率是输入时的笔误啦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Abi Nand