如何求解正实数x、y约束下的二元不等式组：xy<1与2+x(y-1)>0？

看起来你已经走对了第一步，我来帮你把思路补全，纠正一些小疏漏，把所有解都理清楚：

给定x、y都是正实数，要解的不等式组是：
$$
\begin{cases}
xy < 1 \
2 + x(y-1) > 0
\end{cases}
$$

从x的维度拆解（你的初始思路延伸） #

你已经把两个不等式变形为：

• 由$xy < 1$（x>0）得：$y < \frac{1}{x}$
• 由$2 + x(y-1) > 0$展开移项后（x>0）得：$y > 1 - \frac{2}{x}$

要让y存在同时满足这两个不等式，必须保证上界大于下界，也就是$\frac{1}{x} > 1 - \frac{2}{x}$。解这个不等式：
两边同时加$\frac{2}{x}$得到$\frac{3}{x} > 1$，因为x是正实数，两边乘x不等号方向不变，最终得到$0 < x < 3$。

接下来分x的区间细化y的范围：

• 当$0 < x < 2$时，$1 - \frac{2}{x}$是负数，但y是正实数，所以y的实际范围是$0 < y < \frac{1}{x}$（y>0的约束比y>负数更严格）；
• 当$2 ≤ x < 3$时，$1 - \frac{2}{x} ≥ 0$，此时y的范围就是两个不等式的交集：$1 - \frac{2}{x} < y < \frac{1}{x}$。

从y的维度补充验证（避免遗漏） #

如果换个角度从y出发，分情况讨论会更直观，也能发现你之前漏掉的解：

• 当$0 < y < \frac{1}{3}$时：
  第二个不等式变形为$x > \frac{2}{1-y}$（因为1-y>0，不等号方向不变），第一个不等式变形为$x < \frac{1}{y}$。此时$\frac{2}{1-y} < \frac{1}{y}$（解这个不等式得3y<1，正好对应y<1/3的前提），所以x的范围是$\frac{2}{1-y} < x < \frac{1}{y}$。
• 当$\frac{1}{3} ≤ y < 1$时：
  此时$\frac{2}{1-y} ≥ \frac{1}{y}$，意味着x要同时大于一个更大的数、小于一个更小的数，没有交集，所以无解。
• 当$y = 1$时：
  代入第二个不等式得$2 + x(1-1) = 2 > 0$，恒成立；第一个不等式得$x < 1$，结合x>0，所以x的范围是$(0,1)$。
• 当$y > 1$时：
  第二个不等式中1-y是负数，变形后得到$x > \frac{2}{1-y}$（这是个负数），而x本身是正实数，所以这个条件自动满足；只需要满足第一个不等式$xy < 1$，即$x < \frac{1}{y}$，所以x的范围是$(0, \frac{1}{y})$。

最终所有解的完整表述 #

把两种维度的分析整合起来，所有满足条件的(x,y)是：

1. 当$0 < x < 2$时，$0 < y < \frac{1}{x}$；
2. 当$2 ≤ x < 3$时，$1 - \frac{2}{x} < y < \frac{1}{x}$；
3. 当$y > 1$时，$0 < x < \frac{1}{y}$；
4. 当$y = 1$时，$0 < x < 1$。

你之前得出“y<1/3”是不全面的，比如取y=2，x=0.4，代入验证：$xy=0.8<1$，$2 + 0.4*(2-1)=2.4>0$，完全符合条件，这就是y>1时的有效解。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Desmoz