求解同一总体中一样本所有元素均大于另一样本最小值的概率
让我来一步步帮你拆解这个非参数统计问题，不用依赖具体分布就能算出结果～
首先先把题目明确下：
这是Gibbons所著《非参数统计学》教材中的一道题目：某制造商欲推广一款可用于航天飞机的新型耐热瓷砖，随机抽取容量为$m$的该瓷砖样本进行测试，测量其耐热能力，记$X_{(1)}$为该样本测量值的最小值。制造商希望求出在未来由独立机构开展的测试中，随机抽取的一个样本的所有元素均大于$X_{(1)}$的概率。
核心思路：利用连续分布的对称性与顺序统计量性质
首先我们不需要知道瓷砖耐热能力的具体分布（这也是非参数统计的优势），只需要假设耐热能力服从连续型分布$F(x)$——这样就不会出现两个样本值相等的情况（概率为0），简化计算。
假设未来独立机构抽取的样本容量为$n$（题目没明确说明，我们先给出一般情况），记未来样本的元素为$Y_1,Y_2,...,Y_n$，它们和原样本独立，且与原样本服从同一分布$F(x)$。我们要求的是：
$$P(Y_1 > X_{(1)}, Y_2 > X_{(1)}, ..., Y_n > X_{(1)})$$
方法一：积分计算（基于顺序统计量的分布）
先求原样本最小值$X_{(1)}$的分布函数：
$$F_{X_{(1)}}(x) = P(X_{(1)} \leq x) = 1 - P(X_1 > x, X_2 > x, ..., X_m > x) = 1 - [1-F(x)]^m$$
对应的密度函数为：
$$f_{X_{(1)}}(x) = \frac{d}{dx}F_{X_{(1)}}(x) = m[1-F(x)]^{m-1}f(x)$$计算联合概率：
因为未来样本与原样本独立，所以对于任意$x$，$P(Y_1 > x, ..., Y_n > x) = [1-F(x)]^n$。我们对$X_{(1)}$的分布积分，得到：
$$
\begin{align*}
P(Y_1 > X_{(1)}, ..., Y_n > X_{(1)}) &= \int_{-\infty}^{+\infty} P(Y_1 > x, ..., Y_n > x) f_{X_{(1)}}(x) dx \
&= \int_{-\infty}^{+\infty} [1-F(x)]^n \cdot m[1-F(x)]^{m-1}f(x) dx \
&= m \int_{-\infty}^{+\infty} [1-F(x)]^{m+n-1}f(x) dx
\end{align*}
$$变量替换求解积分：
令$u = 1-F(x)$，则$du = -f(x)dx$，积分上下限从$x\to-\infty$时$u\to1$，$x\to+\infty$时$u\to0$，代入后：
$$
m \int_{1}^{0} u^{m+n-1} (-du) = m \cdot \frac{1}{m+n} = \frac{m}{m+n}
$$
方法二：对称性简化（更直观）
把原样本的$m$个瓷砖和未来样本的$n$个瓷砖放在一起，总共$m+n$个独立同分布的连续型随机变量。
我们要求的“未来所有样本元素都大于$X_{(1)}$”，等价于原样本中的最小值$X_{(1)}$是这$m+n$个变量中的最小值（因为如果未来有任何一个元素比$X_{(1)}$小，就不满足条件）。
对于连续型独立同分布的变量，每个变量成为整体最小值的概率是相等的，都是$\frac{1}{m+n}$。原样本有$m$个变量，所以最小值来自原样本的概率就是$m \times \frac{1}{m+n} = \frac{m}{m+n}$，和积分法结果一致！
结论
如果未来抽取的样本容量为$n$，那么所有元素均大于原样本最小值$X_{(1)}$的概率为$\boldsymbol{\frac{m}{m+n}}$。
特别地，如果未来只抽取1个样本（$n=1$），概率就是$\frac{m}{m+1}$。
内容的提问来源于stack exchange，提问作者Eran
