空间偶$(X,A)$：已知A可缩时商映射为同伦等价，逆命题是否成立？

答案是否定的——存在空间偶$(X,A)$，其中商映射$X \to X/A$是同伦等价，但$A$本身不可缩。下面举一个直观的例子来验证：

具体反例 #

取$X$为单位正方形$I \times I$（其中$I=[0,1]$），$A$为正方形的三条边组成的子空间：
$$A = (\partial I \times I) \cup (I \times {0})$$
也就是正方形的左、右两条竖边，加上底边的并集。

1. $A$不可缩：
   $A$的同伦型等价于圆周$S^{1$（可以把“U”形的三条边形变收缩为一个圆周），而$S}1$的基本群是$\mathbb{Z}$（非平凡），因此$A$不可缩。

2. 商映射$X \to X/A$是同伦等价：
   商空间$X/A$是将$A$捏合成一个点得到的空间，它同胚于闭圆盘$D^2$（想象把正方形的三条边粘成一点，剩下的部分自然形成一个圆盘）。
   由于$X$（正方形）本身是可缩空间，$X/A$（圆盘）也是可缩空间，我们可以构造同伦逆：将$D^2$映射回$X$，比如把圆盘的中心对应到正方形的顶点$(1/2,1)$，然后将圆盘的径向点映射到正方形内部的对应点，这个映射与商映射的复合同伦于各自的恒等映射，因此商映射是同伦等价。

补充说明 #

题目中提到“满足同伦扩张性质的空间偶$(X,A)$，若$A$可缩则商映射是同伦等价”，但这个结论的逆命题并不成立——即使$(X,A)$满足同伦扩张性质（比如上述例子中$X$是CW复形，$A$是其子复形，自然满足同伦扩张性质），也存在$A$不可缩但商映射是同伦等价的情况。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user167023