Beta分布累积概率求解疑问：Beta(2,20)下P(θ<0.10)结果存疑

你的问题出在对Beta函数的取值和PDF系数的理解上，我们一步步梳理清楚：

首先明确Beta(a,b)分布的概率密度函数（PDF）：
$$f(\theta) = \frac{1}{B(a,b)} \theta^{a-1} (1-\theta)^{b-1}$$
其中Beta函数$B(a,b) = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}$，对于正整数$n$，伽马函数$\Gamma(n)=(n-1)!$。

步骤1：计算Beta(2,20)的$B$值 #

对于$a=2$，$b=20$：

• $\Gamma(2)=1!=1$
• $\Gamma(20)=19!$
• $\Gamma(22)=21!$
  所以：
  $$B(2,20) = \frac{\Gamma(2)\Gamma(20)}{\Gamma(22)} = \frac{1! \times 19!}{21!} = \frac{1}{20 \times 21} = \frac{1}{420}$$
  这里的关键是：PDF的系数$\frac{1}{B(2,20)} = 420$，而不是你可能误算的$1/420$。

步骤2：计算积分$P(\theta<0.1) = \int_0^{0.1} f(\theta) d\theta$ #

代入PDF后，积分变为：
$$420 \times \int_0^{0.1} \theta(1-\theta)^{19} d\theta$$

用变量替换法求解积分：令$u=1-\theta$，则$\theta=1-u$，$d\theta=-du$，积分上下限从$\theta=0\to u=1$，$\theta=0.1\to u=0.9$，转换后积分变为：
$$420 \times \int_{0.9}^{1} (u^{19} - u^{20}) du$$

计算定积分：
$$\int_{0.9}^{1} (u^{19} - u^{20}) du = \left[ \frac{u^{20}}{20} - \frac{u^{21}}{21} \right]_{0.9}^{1}$$

代入上限1：
$$\frac{1^{20}}{20} - \frac{1^{21}}{21} = \frac{1}{20} - \frac{1}{21} = \frac{1}{420}$$

代入下限0.9：
$$\frac{(0.9)^{20}}{20} - \frac{(0.9)^{21}}{21} = (0.9)^{20} \left( \frac{1}{20} - \frac{0.9}{21} \right)$$
其中$(0.9)^{20} \approx 0.1215767$，括号内部分$\approx 0.05 - 0.0428571 = 0.0071429$，所以这部分约为$0.1215767 \times 0.0071429 \approx 0.0008684$

定积分结果为：
$$\frac{1}{420} - 0.0008684 \approx 0.002381 - 0.0008684 = 0.0015126$$

最后乘以系数420：
$$420 \times 0.0015126 \approx 0.6353$$
也就是约0.64，和网站给出的结果一致。

你的错误分析 #

你得到的$3.16 \times 10^{-6}$，核心原因是把Beta函数的取值搞反了：你大概率误将$B(2,20)$计算成了$\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)} = 420$，然后用$\theta(1-\theta)^{{19}$除以420去积分，但正确的PDF应该是乘以420（即除以$B(2,20)=1/420$）。这直接导致你的结果被缩小了$420}2$倍，最终得到了一个极小的错误值。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Lexie Walker