速度分解为线速度与切向速度及多刚体系统冲击运动分析

首先咱们先明确线速度和切向速度的区别，这是分析刚体运动的基础：

• 线速度：指刚体上某点随系统质心做平动的速度分量，是整个刚体整体平移的速度，所有刚体上的点都拥有相同的质心线速度。
• 切向速度：指刚体上某点相对于质心做转动的速度分量，方向垂直于该点到质心的连线，大小满足公式 v_t = ω × r（其中ω是刚体绕质心的角速度，r是该点到质心的距离）。

系统初始条件梳理 #

先把题目里的关键信息列出来：

• 核心部件：质量m_A = 1kg的物体A，与质量m_B = 12kg的物体B，通过一根长度L=2m的无质量刚性杆连接，初始时三者共线水平静止。
• 附加部件：另外3个m=1kg的物体连接在B周围，使得整个系统的质心恰好位于B点，系统总质量M=1+12+3×1=16kg。
• 冲击条件：物体A受到一个瞬时垂直冲击力，力的方向与AB连线垂直。

冲击后的运动分析 #

1. 质心的平动运动 #

因为系统质心在B点，根据动量守恒定律：瞬时冲击力的冲量I等于系统总动量的变化（初始动量为0）。由此可得系统质心的线速度（也就是B点的平动速度）：
$$v_{cm} = \frac{I}{M} = \frac{I}{16}$$
方向与冲击力的方向完全一致。系统内所有物体都会随质心拥有这个平动速度分量。

2. 绕质心的转动运动 #

由于冲击力作用在A上，且方向垂直于AB连线，这个力会对质心（B点）产生冲量矩，大小为：
$$J = I \times L$$
（这里L是A到B的距离，也就是力臂长度）

根据角动量守恒定律（瞬时冲击下，其他外力的冲量矩可忽略不计），系统的总角动量变化等于冲量矩。初始角动量为0，因此冲击后系统绕质心的总角动量等于J。

接下来计算系统绕质心（B点）的转动惯量：

• 物体A相对于B的转动惯量：I_A = m_A × L² = 1×2² = 4 kg·m²
• 另外3个1kg物体的转动惯量之和：设每个物体到B的距离为r_i，则总转动惯量I_{others} = 1×(r_1² + r_2² + r_3²)。题目中提到系统质心在B点，说明这三个物体的位置矢量之和满足m_A×L + 3×1×(r_1矢量和) = 0，但不影响转动惯量的计算逻辑。

系统总转动惯量I_{total} = I_A + I_{others}，由此可得绕质心的角速度：
$$ω = \frac{J}{I_{total}} = \frac{I×L}{I_A + I_{others}}$$

3. 各物体的实际速度 #

每个物体的实际速度是质心平动速度与相对于质心的切向速度的矢量和：

• 物体B：作为系统质心，没有相对于自身的切向速度，因此实际速度就是质心线速度v_{cm}。
• 物体A：实际速度为v_A = v_{cm} + ω×L，方向与冲击力方向一致（因为切向速度方向和冲击方向相同）。
• 另外3个小质量物体：每个物体的实际速度为v_i = v_{cm} + ω×r_i，具体方向取决于它们相对于B的位置，但整体满足动量和角动量守恒。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Christopher Riches