求m人购票抽奖场景中第i个人获得第n等奖的概率

嘿，这个问题挺有意思的，我来一步步拆解给你看：

首先，我们可以把这个抽奖过程等价理解为：每次从所有票里抽一张，如果抽到已经获奖的人的票就作废，直到抽到未获奖的人，这个人就是下一个获奖者，直到所有人都拿到奖项。本质上，我们要算的是第i个人在所有获奖者中排第n位的概率。

先从简单的情况入手：

• 当n=1时，第i个人拿一等奖的概率很直观，就是他的票数占总票数的比例：P(m, 1, i) = t_i / (t₁ + t₂ + ... + t_m)，这里总票数记为T = Σt_j。

对于n>1的情况，我们可以用递归的思路：要让i拿第n等奖，必须先有n-1个不同的人在他之前获奖。具体来说：

1. 第一个获奖的是某个j≠i，概率是t_j / T；
2. 之后问题简化为：剩下m-1个人（去掉j），总票数变成T - t_j，求i在这m-1个人里拿第n-1等奖的概率。

所以递归公式就是：

P(m, n, i) = Σ_{j≠i} [ (t_j / T) * P(m-1, n-1, i) ]

这里的P(m-1, n-1, i)是去掉j后的子问题概率，总票数为T - t_j，其他人的票数不变。

把递归公式展开，我们可以得到更直接的求和形式：第i个人拿第n等奖的概率，等于所有可能的「n-1个非i的人先获奖」的排列情况的概率之和。

具体来说，对于任意一组n-1个不同的非i的人（记为集合S），我们计算所有S中元素的排列顺序对应的概率，再乘以第n次抽中i的概率，最后对所有这样的集合S求和：

P(i, n) = t_i * Σ_{S⊆[m]\{i\}, |S|=n-1} [ ( Σ_{σ是S的排列} ( product_{k=1到n-1} t_{σ(k)} / (T - Σ_{l=1到k-1} t_{σ(l)}) ) ) / (T - Σ_{s∈S} t_s) ]

举个例子验证：当m=3，n=2时，i拿二等奖的概率就是：

(t_j / T) * (t_i / (T - t_j)) + (t_k / T) * (t_i / (T - t_k))

这和我们手动计算的结果一致，完全符合直觉。

当所有人的票数都相等（比如t_j=1），总票数T=m，此时每个位置的概率都是1/m，这和我们的公式计算结果一致——毕竟每个人只有一张票，抽奖顺序就是随机排列，每个位置的概率均等。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者kpjoshi