如何求(p-1)(q-1)阶特定分块矩阵的特征值？求推荐相关书籍

一、其余特征值的求解方法 #

先把你的矩阵标准化一下方便分析：我们记这个$(p+q-2)$阶分块矩阵为$M$，用全1矩阵$J_{m,n}$（所有元素为1的$m\times n$矩阵）替代全-1矩阵，那么：
$$
M = \begin{bmatrix}
(p-1)I_{q-1} & -J_{q-1,p-1} \
-J_{p-1,q-1} & (q-1)I_{p-1}
\end{bmatrix}
$$
你已经通过行和为0找到了特征值0，接下来我们可以利用矩阵的对称性和分块结构，分三类情况找全其余特征值：

1. 单特征值$p+q-2$ #

我们尝试构造分块形式的特征向量：设$\mathbf{x} = \begin{bmatrix} a\mathbf{1}{q-1} \ b\mathbf{1}{p-1} \end{bmatrix}$，其中$\mathbf{1}_k$是$k$维全1向量，$a,b$是常数。把它代入$M\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x}$，计算后会得到方程组：
$$
\begin{cases}
(p-1)(a - b) = \lambda a \
(q-1)(b - a) = \lambda b
\end{cases}
$$
通过消元可以得到：当$b = -\frac{q-1}{p-1}a$时，能解出$\lambda = p+q-2$，这是一个重数为1的特征值。

2. 重数为$q-2$的特征值$p-1$ #

考虑分块向量$\mathbf{x} = \begin{bmatrix} \mathbf{u} \ \mathbf{0} \end{bmatrix}$，其中$\mathbf{u}$是满足$\mathbf{1}{q-1}^T\mathbf{u} = 0$的$(q-1)$维向量（也就是和全1向量正交的向量）。代入$M\mathbf{x}$后，因为$\mathbf{1}^T\mathbf{u}=0$，$J{p-1,q-1}\mathbf{u} = \mathbf{1}{p-1}(\mathbf{1}{q-1}^T\mathbf{u}) = \mathbf{0}$，所以会得到$M\mathbf{x} = (p-1)\mathbf{x}$。

这类线性无关的$\mathbf{u}$有$(q-1)-1 = q-2$个，所以特征值$p-1$的重数是$q-2$。

3. 重数为$p-2$的特征值$q-1$ #

和上面类似，取分块向量$\mathbf{x} = \begin{bmatrix} \mathbf{0} \ \mathbf{v} \end{bmatrix}$，其中$\mathbf{v}$满足$\mathbf{1}_{p-1}^T\mathbf{v} = 0$。代入后可得$M\mathbf{x} = (q-1)\mathbf{x}$，这类线性无关的$\mathbf{v}$有$(p-1)-1 = p-2$个，所以特征值$q-1$的重数是$p-2$。

最后验证一下特征值的重数和：$1$（0的重数）+$1$（$p+q-2$的重数）+$q-2$+$p-2$ = $p+q-2$，正好等于矩阵的阶数，说明我们找全了所有特征值。

二、参考书籍推荐 #

• 《Matrix Analysis》（Roger A. Horn & Charles R. Johnson）：矩阵分析领域的经典教材，涵盖了对称矩阵、分块矩阵、特征值理论等大量核心内容，对于特殊结构矩阵的特征值分析讲解得非常深入，是进阶学习的必备书。
• 《Linear Algebra and Its Applications》（Gilbert Strang）：这本教材通俗易懂，把线性代数的基础概念和应用讲得很透彻，里面有专门的章节讲解分块矩阵和特征值求解，适合打基础或者回顾知识点。
• 《Handbook of Linear Algebra》（Leslie Hogben 主编）：一本手册性质的工具书，收录了各种特殊矩阵的性质和求解方法，遇到这类特殊矩阵问题时，能快速查到相关结论和推导思路。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Learnmore