请求证明旋转映射$T : \Bbb T → \Bbb T$（$T(x)=x+3/4$ mod 1）非遍历性

DevOps 小满

2026-5-19

证明旋转映射 $T(x) = x + \frac{3}{4} \mod 1$ 不是遍历的

要证明这个结论，我们只需要构造一个非平凡的$T$-不变集（即满足$T^{-1}E = E$，但Lebesgue测度$m(E)$既不是0也不是1的集合$E$），直接违背遍历性的定义即可。

步骤1：分析映射的周期性

首先注意到旋转量$\frac{3}{4}$是有理数，写成既约分数为$\frac{p}{q}$（这里$p=3, q=4$），因此映射$T$是4周期的：
$$T^4(x) = x + 4 \times \frac{3}{4} \mod 1 = x + 3 \mod 1 = x$$
也就是说，对任意$x \in \Bbb T$，经过4次迭代后会回到原位置。

步骤2：构造非平凡不变集$E$

我们将单位圆$\Bbb T$分成4个长度为$\frac{1}{4}$的基础区间，再把每个基础区间二等分，取每个基础区间的前半部分：

$J_0 = [0, \frac{1}{8})$
$J_1 = [\frac{1}{4}, \frac{3}{8})$
$J_2 = [\frac{1}{2}, \frac{5}{8})$
$J_3 = [\frac{3}{4}, \frac{7}{8})$

定义集合 $E = J_0 \cup J_1 \cup J_2 \cup J_3$。

步骤3：验证$E$是$T$-不变集（即$T^{-1}E = E$）

因为$T$是双射，$T^{-1}E = E$等价于$T(E) = E$。我们逐个计算每个$J_k$在$T$下的像：

$T(J_0) = [0 + \frac{3}{4}, \frac{1}{8} + \frac{3}{4}) \mod 1 = [\frac{3}{4}, \frac{7}{8}) = J_3$
$T(J_1) = [\frac{1}{4} + \frac{3}{4}, \frac{3}{8} + \frac{3}{4}) \mod 1 = [1, \frac{9}{8}) \mod 1 = [0, \frac{1}{8}) = J_0$
$T(J_2) = [\frac{1}{2} + \frac{3}{4}, \frac{5}{8} + \frac{3}{4}) \mod 1 = [\frac{5}{4}, \frac{11}{8}) \mod 1 = [\frac{1}{4}, \frac{3}{8}) = J_1$
$T(J_3) = [\frac{3}{4} + \frac{3}{4}, \frac{7}{8} + \frac{3}{4}) \mod 1 = [\frac{3}{2}, \frac{13}{8}) \mod 1 = [\frac{1}{2}, \frac{5}{8}) = J_2$

因此$T(E) = T(J_0) \cup T(J_1) \cup T(J_2) \cup T(J_3) = J_3 \cup J_0 \cup J_1 \cup J_2 = E$，即$T^{-1}E = E$。