证明定积分线性性质：∫ₐᵇ(f+g)=∫ₐᵇf +∫ₐᵇg

咱们一步步来推导这个定积分的核心性质，全程围绕达布和的基本性质展开：

1. 先铺垫前提条件：任取正数 $\varepsilon > 0$，因为函数 $f$ 和 $g$ 都在区间 $[a,b]$ 上可积，根据可积的充要条件（达布上和与下和的差可以任意小），我们能找到 $[a,b]$ 的两个划分 $P$ 和 $Q$，满足：

   • $S_P f - s_P f < \frac{\varepsilon}{2}$ （$f$ 关于划分 $P$ 的达布上和减下和小于 $\varepsilon/2$）
   • $S_Q g - s_Q g < \frac{\varepsilon}{2}$ （$g$ 关于划分 $Q$ 的达布上和减下和小于 $\varepsilon/2$）

2. 构造更精细的划分：取 $R = P \cup Q$，这个划分比 $P$ 和 $Q$ 都更细。根据达布和的关键性质——划分越细，达布上和不会增大，达布下和不会减小，我们可以得到：

   • $S_R f - s_R f \leq S_P f - s_P f < \frac{\varepsilon}{2}$
   • $S_R g - s_R g \leq S_Q g - s_Q g < \frac{\varepsilon}{2}$

3. 分析 $f+g$ 的达布和：
   对于划分 $R$ 中的每个小区间 $[x_{i-1}, x_i]$，设：

   • $M_i(f)$、$m_i(f)$ 是 $f$ 在该区间的上确界、下确界
   • $M_i(g)$、$m_i(g)$ 是 $g$ 在该区间的上确界、下确界
     那么 $f+g$ 在这个小区间的上确界 $M_i(f+g) \leq M_i(f) + M_i(g)$，下确界 $m_i(f+g) \geq m_i(f) + m_i(g)$。

   由此，$f+g$ 的达布上和与下和的差可以拆分推导：

   S_R(f+g) - s_R(f+g) = Σ[M_i(f+g) - m_i(f+g)]Δx_i
                       ≤ Σ[(M_i(f)+M_i(g)) - (m_i(f)+m_i(g))]Δx_i
                       = Σ[M_i(f)-m_i(f)]Δx_i + Σ[M_i(g)-m_i(g)]Δx_i
                       = (S_R f - s_R f) + (S_R g - s_R g)
   

4. 代入不等式完成可积性证明：
   把之前的结果代入，就能得到：

   S_R(f+g) - s_R(f+g) < ε/2 + ε/2 = ε
   

   根据可积的充要条件，这直接说明 $f+g$ 在 $[a,b]$ 上是可积的。

5. 最后证明积分值相等：
   对于划分 $R$，我们有如下不等式链：

   • $s_R f + s_R g ≤ s_R(f+g) ≤ ∫ₐᵇ(f+g) ≤ S_R(f+g) ≤ S_R f + S_R g$
   • 同时，$∫ₐᵇf$ 满足 $s_R f ≤ ∫ₐᵇf ≤ S_R f$，$∫ₐᵇg$ 满足 $s_R g ≤ ∫ₐᵇg ≤ S_R g$，因此 $∫ₐᵇf + ∫ₐᵇg$ 满足 $s_R f + s_R g ≤ ∫ₐᵇf + ∫ₐᵇg ≤ S_R f + S_R g$

   那么两个积分的差的绝对值满足：

   | ∫ₐᵇ(f+g) - (∫ₐᵇf + ∫ₐᵇg) | ≤ (S_R f + S_R g) - (s_R f + s_R g) = (S_R f - s_R f) + (S_R g - s_R g) < ε
   

   因为 $\varepsilon$ 是任意正数，所以必然有 $∫ₐᵇ(f+g) = ∫ₐᵇf + ∫ₐᵇg$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Leyla