如何证明平直时空存在闵可夫斯基坐标系？含广义相对论相关情形

1. 如何证明平直时空允许存在闵可夫斯基坐标系？ #

首先明确平直时空的核心定义：一个洛伦兹流形$(M, g)$是平直的，当且仅当它的黎曼曲率张量$R_{abcd}$处处为零——也就是说时空不存在任何曲率。咱们可以通过以下步骤构造并验证闵可夫斯基坐标系的存在：

• 步骤1：选取初始点与正交归一切矢
  在时空$M$中任取一点$p$，在$p$点的切空间$T_pM$里构造一组正交归一基矢${e_0, e_1, e_2, e_3}$，满足度规条件：
  $$g(e_i, e_j) = \eta_{ij} = \text{diag}(-1, 1, 1, 1)$$
  这里$\eta_{ij}$就是标准的闵可夫斯基度规。

• 步骤2：构造局部平行矢量场
  因为平直时空曲率为零，平行移动具有路径无关性——把$p$点的基矢${e_i}$沿任意路径平行移动到$p$的某个邻域$U$内的任意点$q$，得到的矢量${e_i(q)}$都是唯一的。这样我们就在$U$上得到了四个光滑矢量场，它们在每一点都正交归一，且满足$\nabla e_i = 0$（平行条件）。

• 步骤3：构造坐标系并验证度规
  对邻域$U$内的任意点$q$，定义坐标$(x^0, x^1, x^2, x^3)$：$xi$是从$p$出发，沿$e_i$对应的测地线到达$q$所需的参数（测地线切矢就是平行矢量场，参数对应测地线的“时间/长度”）。
  此时坐标系的坐标基矢$\partial/\partial x^i$恰好等于平行矢量场$e_i$，因此度规在这个坐标系下的分量为：
  $$g\left(\frac{\partial}{\partial x^i}, \frac{\partial}{\partial x^j}\right) = g(e_i, e_j) = \eta_{ij}$$
  这就证明了该坐标系是闵可夫斯基坐标系。

2. 广义相对论框架下的两个结论证明 #

结论1：平直时空可被闵可夫斯基坐标邻域覆盖

这个结论是第一个问题的直接延伸：

• 对于平直时空$M$中的每一点$p$，我们都能构造一个包含$p$的闵可夫斯基坐标邻域$U_p$（即测地凸邻域，保证邻域内任意两点都能被唯一测地线连接）。
• 所有这样的邻域${U_p | p \in M}$构成了$M$的开覆盖，意味着平直时空的每一处都能被局部闵可夫斯基坐标系覆盖。

结论2：具有平凡拓扑的平直时空可被全局闵可夫斯基坐标图覆盖

这里的平凡拓扑指时空流形$M$拓扑同胚于$\mathbb{R}^4$（简单说就是没有“洞”、没有折叠，拓扑结构和四维欧氏空间一致）。证明思路如下：

• 首先，平直时空是测地完备的——曲率为零意味着测地线可以无限延伸，不会在有限参数内到达流形边界。结合洛伦兹流形版本的霍普夫-里诺定理，完备连通的洛伦兹流形中，任意两点都能被一条测地线连接。
• 选取任意点$p \in M$，构造全局的平行正交归一矢量场${e_0, e_1, e_2, e_3}$（因为拓扑平凡，平行移动可以覆盖整个流形，不会出现矛盾）。
• 对任意点$q \in M$，定义全局坐标$(x^0, x^1, x^2, x^3)$：$xi$是从$p$出发，沿$e_i$方向的测地线参数，$q$是这四条测地线的“线性组合”到达的点（矢量场对易，顺序不影响结果）。
• 由于拓扑同胚于$\mathbb{R}^4$，这个坐标映射是一一对应的（无重叠、无遗漏），且度规在该全局坐标系下的分量处处为$\eta_{ij}$，因此这就是一个全局闵可夫斯基坐标图。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Zwiebach Friobie