群论陪集证明求助：aH=Ha是否蕴含a与H中所有元素交换？

嘿，我来帮你理清这个问题的思路，先纠正一个容易混淆的误区，再一步步完成证明～

首先：纠正你的误区 #

你提到“若能证明a、b与H中的每个元素都可交换，那么证明会很容易”，但这里要注意：$aH=Ha$并不等价于$a$与$H$中的所有元素都可交换！

举个简单例子：在二面体群$D_4$（正方形的对称群）中，取旋转子群$H={e, r, r^2, r^{3}$（$r$是90度旋转），取反射元素$a=s$（关于对称轴的反射）。此时$aH=Ha$（因为$H$是$D_4$的正规子群），但$a$和$r$并不交换：$sr=r}3s \neq rs$。

$aH=Ha$的正确等价描述是：对任意$h\in H$，存在某个$h'\in H$使得$ah=h'a$（同时也存在$h''\in H$使得$ha=ah''$），而不是对所有$h\in H$都有$ah=ha$。我们不需要强到“每个元素都交换”，用这个陪集相等的定义就足够完成证明了。

正式证明：$(ab)H=H(ab)$ #

要证明两个集合相等，我们只需证明互相包含即可：

1. 证明$(ab)H \subseteq H(ab)$ #

任取$(ab)h \in (ab)H$，其中$h\in H$：

• 因为$bH=Hb$，所以$bh \in Hb$，即存在$h_1\in H$，使得$bh = h_1b$；
• 代入得：$(ab)h = a(bh) = a(h_1b) = (ah_1)b$；
• 又因为$aH=Ha$，所以$ah_1 \in Ha$，即存在$h_2\in H$，使得$ah_1 = h_2a$；
• 继续代入得：$(ah_1)b = h_2ab = h_2(ab) \in H(ab)$。

由此可知，$(ab)H$中的任意元素都属于$H(ab)$，即$(ab)H \subseteq H(ab)$。

2. 证明$H(ab) \subseteq (ab)H$ #

任取$h(ab) \in H(ab)$，其中$h\in H$：

• 因为$aH=Ha$，所以$ha \in aH$，即存在$h_1\in H$，使得$ha = ah_1$；
• 代入得：$h(ab) = (ha)b = (ah_1)b = a(h_1b)$；
• 又因为$bH=Hb$，所以$h_1b \in bH$，即存在$h_2\in H$，使得$h_1b = bh_2$；
• 继续代入得：$a(h_1b) = a(bh_2) = (ab)h_2 \in (ab)H$。

由此可知，$H(ab)$中的任意元素都属于$(ab)H$，即$H(ab) \subseteq (ab)H$。

结论 #

因为$(ab)H \subseteq H(ab)$且$H(ab) \subseteq (ab)H$，所以$(ab)H=H(ab)$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者ash