带正权重实数的特定有理函数不等式成立性求证

嘿，我来帮你分析这个不等式是否恒成立。首先先明确问题的核心条件与待证式子：

给定实数 $x_i, y_i, z_i$，正权重 $p_i>0$ 满足 $\sum_i p_i^2 = 1$，且对所有 $i$ 有 $y_i - x_i^2 \geqslant 0$，同时 $\sum_ip_iy_i - (\sum_i p_ix_i)^2 \geqslant0$，需要判断以下不等式是否总是成立：

$$\frac{\sum\limits_{i} p_i y_i -(\sum\limits_{i}p_i x_i)^2 }{(\sum\limits_{i}p_i z_i)^2} \leqslant \sum\limits_{i}p_i\left(\frac{y_i -x_i^2}{z_i2}\right)$$

结论：该不等式不恒成立，我们可以通过构造具体反例来证明这一点。 #

构造反例 #

我们取最简单的二元情况（$i=1,2$）来构造反例：

• 权重：$p_1 = p_2 = \frac{\sqrt{2}}{2}$，显然满足 $\sum_i p_i^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 1$，且 $p_i>0$；
• 变量取值：$x_1=1, x_2=-1$；$y_1=y_2=1$（此时 $y_i - x_i^2 = 1-1=0$，满足 $y_i -x_i^2 \geqslant0$ 的要求）；$z_1=z_2=1$。

现在分别计算不等式左右两边的值：

左边计算

分子部分：
$$\sum p_i y_i - (\sum p_i x_i)^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \times 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \times 1\right) - \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \times 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \times (-1)\right)^2 = \sqrt{2} - 0 = \sqrt{2}$$

分母部分：
$$(\sum p_i z_i)^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \times 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \times 1\right)^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$$

左边整体值：$\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.7071$

右边计算

$$\sum p_i \frac{y_i - x_i^2}{z_i2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{0}{1^2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{0}{1^2} = 0$$

显然此时左边的值（≈0.7071）远大于右边的0，原不等式不成立。

补充分析 #

出现这种情况的原因是：左边分子中的 $\sum p_i y_i - (\sum p_i x_i)^2$ 不仅包含了每个项的 $y_i -x_i^2$ 部分，还包含了由 $x_i$ 交叉项带来的正贡献（当 $x_i$ 符号相反时，$\sum p_i x_i$ 抵消为0，这部分贡献被完全保留），而右边仅考虑了每个独立项的 $\frac{y_i -x_i^2}{z_i2}$ 加权和，当这些独立项的贡献为0时，右边就会等于0，但左边仍可能为正，从而打破不等式。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者WoofDoggy