二阶泰勒多项式近似计算及误差估计问题验证问询

看起来你正在练习泰勒多项式的数值近似，我来帮你一步步验证思路的正确性：

步骤1：计算各阶导数及展开点处的值 #

对于目标函数$f(x)=x^{-1}$，我们先求各阶导数并代入展开点$x=1$：

• 原函数：$f(x)=x^{{-1}$，$f(1)=1}{-1}=1$
• 一阶导数：$f'(x)=-x^{-2}$，$f'(1)=-1$
• 二阶导数：$f''(x)=2x^{-3}$，$f''(1)=2$
• 三阶导数（用于误差估计）：$f'''(x)=-6x^{-4}$

步骤2：构造二阶泰勒多项式 #

二阶泰勒多项式在展开点$a=1$处的通用形式为：
$$P_2(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2$$
代入我们算出的具体值，得到：
$$P_2(x) = 1 - (x-1) + (x-1)^2$$

步骤3：计算近似值 #

我们需要近似的是$x=1.02$处的函数值，此时$x-1=0.02$，代入多项式：
$$P_2(1.02) = 1 - 0.02 + (0.02)^2 = 1 - 0.02 + 0.0004 = 0.9804$$

步骤4：误差估计（拉格朗日余项法） #

二阶泰勒多项式的余项公式为：
$$R_2(x) = \frac{f'''(c)}{3!}(x-1)^3$$
其中$c$是介于1和1.02之间的某个数（即$1 < c < 1.02$）。

拆解计算：

• $(x-1)^3=(0.02)3=8×10^{-6}$
• $3!=6$
• $f'''(c)=-6c^{{-4}$，取绝对值得$|f'''(c)|=\frac{6}{c}4}$

由于$c>1$，$c^{4>1$，因此$\frac{6}{c}4}<6$；同时$c<1.02$，$c^4<(1.02)4≈1.0824$，因此$\frac{6}{c^4}>\frac{6}{1.0824}≈5.543$。

最终余项的绝对值范围为：
$$≈4.434×10^{-6} < |R_2(x)| < 8×10^{-6}$$
注意$f'''(c)$是负数，所以余项$R_2(x)$为负，即真实值比近似值0.9804更小。

步骤5：确定包含真实值的最小区间 #

结合误差范围，真实值$\frac{1}{1.02}$满足：
$$0.9804 - 8×10^{-6} < \frac{1}{1.02} < 0.9804 - 4.434×10^{-6}$$
换算为小数：
$$0.980392 < \frac{1}{1.02} < 0.9803926$$

对照真实值$\frac{1}{1.02}≈0.98039215686$，确实落在这个区间内，说明你的思路完全正确！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者gbgult