分离变量法求解ODE的两种结果：为何仅一种有效？

这是个非常典型的分离变量法细节问题，咱们一步步拆解根源：

首先明确原方程：$t \cdot x'(t) = x(t)$，定义域是**$t \neq 0$**（t=0时方程左边为0，右边x(0)仅当x(0)=0时成立，但原方程在t=0处无定义，所以我们只需要考虑t>0和t<0两个连通区间）。

第一种方法的问题：推导不严谨，漏解且表达式冗余 #

第一种方法的关键疏漏出在积分步骤：
$$\log(x(t))=\log|t|+C$$
这里左边直接写了$\log(x(t))$，默认了$x(t)>0$，完全忽略了$x(t)<0$的情况（原方程的解可以是负的，比如$x(t)=-t$在$t≠0$时满足$t x'(t)=t \cdot (-1)=-t=x(t)$）。

即使只看正解的情况，最后得到$x(t)=C_1|t|$，这个表达式其实可以简化：

• 当$t>0$时，$|t|=t$，即$x(t)=C_1 t$；
• 当$t<0$时，$|t|=-t$，即$x(t)=-C_1 t$。

本质上这就是分段的线性解，但推导过程没覆盖$x(t)<0$的情况，导致表达式看起来是绝对值形式，反而掩盖了解的线性本质。

第二种方法的严谨性：完整覆盖所有非零解，统一表达式 #

第二种方法的积分步骤加了绝对值：
$$\log|x(t)|=\log|t| + C$$
这一步就涵盖了$x(t)>0$和$x(t)<0$两种情况，接下来的推导：
$$|x(t)|=C_1|t| \iff x(t)=C_1 t$$
这里的$C_1$可以是任意非零实数（正或负），再补上被分离变量法忽略的零解$x(t)=0$（当$C_1=0$时正好包含进去），就得到了原方程在$t≠0$时的全部解：$x(t)=C_1 t$（$C_1$为任意实数）。

总结差异根源 #

两种方法的核心差异在于积分时是否对$x(t)$加绝对值：

• 第一种方法没加绝对值，只推导了$x(t)>0$的情况，结果表达式冗余且不完整；
• 第二种方法通过绝对值覆盖了所有非零解，再结合零解，得到了简洁且完整的通解形式。

另外补充一点：$x(t)=C_1|t|$在$t≠0$时其实也是解，但它是分段线性解的一种写法，不如$x(t)=C_1 t$统一——因为在单个连通区间（比如t>0）内，解就是$x(t)=C t$，t<0同理，不同区间的常数可以不同，但通常我们说的通解是指单个区间内的解，这时候$x(t)=C t$就是最标准的形式。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者lemontree