透视投影矩阵推导步骤及各组成矩阵作用解析

我太懂这种研究很久还是摸不透的感觉了——透视投影矩阵的构造看似复杂，其实是把几个线性变换模块拼起来的，咱们拆成一个个矩阵来看就清晰多了。

核心思路：把锥形视锥体“变”成标准正方体 #

透视投影的本质是把相机空间里的透视视锥体（近小远大的锥形空间，只有这个区域内的物体才会被渲染），最终映射到**标准设备坐标（NDC）**的[-1,1]³正方体里。这个过程需要两个关键矩阵，再把它们相乘得到最终的透视投影矩阵。

1. 透视挤压矩阵：把锥形压成长方体 #

这个矩阵是解决透视投影“近大远小”问题的核心，作用是把相机空间的锥形视锥体，挤压成一个轴对齐的长方体（这样后续就能用简单的正交投影处理了）。

它的原理基于相似三角形：相机在原点，远处的物体在屏幕上的投影会比近处的小，我们可以利用齐次坐标的特性，把x、y坐标和深度z绑定，让后续的透视除法（除以齐次分量w）自动完成缩放。

对于右手坐标系（相机在原点，看向-z方向，近平面z=-n，远平面z=-f），这个矩阵的形式是：

[ n/r    0      0       0     ]
[ 0      n/t    0       0     ]
[ 0      0    -(f+n)/(f-n)  -2fn/(f-n) ]
[ 0      0     -1       0     ]

（注：这里r是近平面右边界，t是上边界；如果是用左l、右r、下b、上t的参数，第一行是2n/(r-l)，第三项是(r+l)/(r-l)，本质是一样的，只是参数定义不同）

简单来说，这个矩阵做了三件事：

• 把x、y方向的坐标按深度z缩放，模拟透视收缩
• 把z轴的深度值从[−n, −f]映射到一个便于后续正交变换的范围
• 把齐次分量w设置为−z，为之后的透视除法做准备

2. 正交投影矩阵：把长方体塞进标准正方体 #

当锥形被压成长方体后，接下来就用正交投影矩阵把这个长方体缩放+平移到NDC的[-1,1]³空间里——这一步是纯粹的线性变换，没有透视的非线性特性。

同样基于右手坐标系，正交投影矩阵的形式是：

[ 1/r    0      0       -(r+l)/(2r) ]
[ 0      1/t    0       -(t+b)/(2t) ]
[ 0      0    -2/(f-n)  -(f+n)/(f-n) ]
[ 0      0       0          1        ]

它的核心作用就是：

• 把x轴从[l, r]缩放到[-1, 1]
• 把y轴从[b, t]缩放到[-1, 1]
• 把z轴从[−n, −f]缩放到[-1, 1]
• 把长方体的中心平移到NDC的原点

最终透视投影矩阵：两个矩阵相乘 #

因为图形学里用的是列向量，变换的顺序是从右到左，所以最终的透视投影矩阵 = 正交投影矩阵 × 透视挤压矩阵。

把两个矩阵相乘后，就能得到我们平时在OpenGL、DirectX里用到的标准透视投影矩阵了。举个例子，用左l、右r、下b、上t、近n、远f的通用参数，最终矩阵的形式是：

[ 2n/(r-l)   0          (r+l)/(r-l)    0     ]
[ 0          2n/(t-b)   (t+b)/(t-b)    0     ]
[ 0          0          -(f+n)/(f-n)  -2fn/(f-n) ]
[ 0          0          -1             0     ]

其实你可以把整个过程想象成：先把锥形的橡皮泥捏成规整的长方体，再把这个长方体按比例缩小、移动，塞进一个边长为2的标准正方体里——每个矩阵就是其中一步的“工具”。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Manh Nguyen Huu