SO3中全有限阶有限生成子群非稠密性的证明问询

嘿，这个问题确实有点棘手，尤其是不能用“这类子群必有限”这个后续结论来简化证明对吧？我来分享一个完全避开子群有限性的拓扑思路，核心用到Baire纲定理：

• 首先回忆SO(3)的拓扑性质：它是紧致的完备度量空间（同胚于实射影空间RP³），满足Baire纲定理——即空间中可数个无处稠密集的并集仍然是无处稠密集，其补集是稠密的。
• 对每个正整数n，定义集合Fₙ = { g ∈ SO(3) | gⁿ = I }，也就是所有阶整除n的旋转构成的集合。由于映射φₙ: SO(3) → SO(3), g ↦ gⁿ是连续群同态，Fₙ是φₙ的核，也就是闭集（因为单点集{I}是闭集，连续映射的原像保持闭性）。
• 接下来分析Fₙ的内部：对于任意g ∈ Fₙ，g是绕某轴旋转2πk/n角度的元素（k与n互质）。所有与g共轭的元素构成的共轭类，是SO(3)中绕任意轴旋转2πk/n角度的旋转集合，这个集合同胚于RP²（轴的选择对应RP²中的点），是SO(3)的二维子流形，因此在三维的SO(3)中没有内部（即不存在包含g的开球完全包含在Fₙ中）。由此可知每个Fₙ都是无处稠密集（闭集且内部为空）。
• 现在考虑题目中的有限生成子群G：设G由g₁, g₂, ..., g_m生成，每个g_i都是有限阶，设它们的阶分别为n₁, n₂, ..., n_m，令N是这些n_i的最小公倍数，那么G中的每个元素都是生成元的乘积，其阶必然整除N，因此G ⊆ F_N ⊆ ∪_{k=1}^∞ F_k。
• 根据Baire纲定理，∪_{k=1}^∞ F_k是可数个无处稠密集的并，属于第一纲集，其补集在SO(3)中稠密。这意味着∪F_k不可能在SO(3)中稠密，而G作为它的子集，自然也不可能在SO(3)中稠密。

这个思路完全没有用到子群有限性的结论，纯靠拓扑工具完成证明，应该符合你的要求~

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Raz