证明：从赋范空间到Banach空间的一致连续函数在聚点处极限存在

我来一步步拆解这个证明，先把关键定义摆出来避免混淆：

• 聚点 $x_0 \in \text{Acc}(A)$：意味着存在 $A$ 中的序列 ${x_n}$，满足 $x_n \neq x_0$ 且 $\lim_{n \to \infty} x_n = x_0$
• 一致连续：对任意 $\epsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，只要 $x,y \in A$ 且 $|x - y| < \delta$，就有 $|f(x) - f(y)| < \epsilon$
• Banach空间核心特性：空间内所有柯西序列都收敛

步骤1：构造收敛到 $x_0$ 的序列 #

既然 $x_0$ 是 $A$ 的聚点，我们直接取一个满足条件的序列 ${x_n} \subset A$，其中每个 $x_n \neq x_0$，且 $\lim_{n \to \infty} x_n = x_0$。

步骤2：证明 ${f(x_n)}$ 是柯西序列 #

任给 $\epsilon > 0$，根据 $f$ 的一致连续性，我们能找到一个 $\delta > 0$，只要 $A$ 中两个点的距离小于 $\delta$，它们的函数值距离就小于 $\epsilon$。

而 ${x_n}$ 是收敛序列，收敛序列必然是柯西序列：也就是说存在某个正整数 $N$，当 $m,n > N$ 时，$|x_m - x_n| < \delta$。

把这个代入一致连续的条件，就能得到 $|f(x_m) - f(x_n)| < \epsilon$，这就说明 ${f(x_n)}$ 是 $F$ 中的柯西序列。

步骤3：利用Banach空间的完备性得到极限 #

因为 $F$ 是Banach空间（完备的赋范空间），柯西序列一定收敛。所以我们可以设 $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = y_0$，其中 $y_0 \in F$。

步骤4：证明极限不依赖于序列的选择 #

这里要确保不管取哪个收敛到 $x_0$ 的序列，对应的函数序列都收敛到同一个 $y_0$。

假设还有另一个序列 ${x_n'} \subset A$，满足 $x_n' \neq x_0$ 且 $\lim_{n \to \infty} x_n' = x_0$，对应的函数序列收敛到 $y_0'$。我们构造一个新序列 ${z_k}$：

• $z_{2k} = x_k$（取原序列的偶数项）
• $z_{2k+1} = x_k'$（取新序列的奇数项）

显然 ${z_k}$ 也收敛到 $x_0$，所以 ${f(z_k)}$ 也是柯西序列，它的极限必须唯一。而 ${f(x_n)}$ 和 ${f(x_n')}$ 都是 ${f(z_k)}$ 的子序列，它们的极限只能是同一个值，也就是 $y_0 = y_0'$。

步骤5：验证极限的 $\epsilon-\delta$ 定义 #

最后我们严格验证 $\lim_{x \to x_0} f(x) = y_0$：
任取 $\epsilon > 0$，由一致连续性，存在 $\delta > 0$，当 $x,y \in A$ 且 $|x - y| < \delta$ 时，$|f(x)-f(y)| < \epsilon/2$。

因为 ${x_n}$ 收敛到 $x_0$，存在 $N$ 使得当 $n > N$ 时，$|x_n - x_0| < \delta/2$ 且 $|f(x_n) - y_0| < \epsilon/2$。

现在取任意 $x \in A$ 满足 $0 < |x - x_0| < \delta/2$，那么 $|x - x_n| \leq |x - x_0| + |x_0 - x_n| < \delta/2 + \delta/2 = \delta$，根据一致连续的条件，$|f(x) - f(x_n)| < \epsilon/2$。

于是：
$$|f(x) - y_0| \leq |f(x) - f(x_n)| + |f(x_n) - y_0| < \epsilon/2 + \epsilon/2 = \epsilon$$

这完全符合极限的定义。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者chadi