若方程$x^2+qx+rp=0$与$x^2+rx+pq=0$有公共根，求另一根满足的方程

已知方程 x² + qx + rp = 0 与 x² + rx + pq = 0 有一个公共根，请问该公共根之外的另一根满足下列哪个方程？
选项：

• a) x² - x + r = 0
• b) x² + rx + p = 0
• c) x² - 2x + pr = 0
• d) x² + px + qr = 0

我的尝试 #

我已经尝试利用公共根条件推导了一些等式，但未能得出答案；也尝试将公共根条件代入两个二次方程继续推导，但仍无进展（解题思路已通过图片附上）。

解题思路与答案 #

我来帮你一步步拆解这个问题：

1. 设定变量：设两个方程的公共根为 α，第一个方程的另一个根为 β，第二个方程的另一个根为 γ。
2. 用韦达定理列基础关系式：
   • 对于方程 x² + qx + rp = 0，根据韦达定理可得：α + β = -q，αβ = rp
   • 对于方程 x² + rx + pq = 0，同理可得：α + γ = -r，αγ = pq
3. 消元求出公共根：
   因为 α 是公共根，把它代入两个原方程：
   α² + qα + rp = 0
α² + rα + pq = 0
   将两式相减消去 α²，得到：
   (q - r)α + p(r - q) = 0
   整理后提取公因式：(q - r)(α - p) = 0
   这里如果 q=r，两个方程会完全相同，就不存在“一个公共根”的说法了，所以可以确定 α = p。
4. 推导非公共根的特性：
   把 α=p 代入 αβ=rp，可得 β=r；代入 αγ=pq，可得 γ=q。
   再把 α=p 代入任意一个原方程，比如 x² + qx + rp = 0，得到：
   p² + qp + rp = 0，提取公因式后得 p(p + q + r)=0，也就是说 p + q + r = 0（如果 p=0，验证后结果也一致）。
5. 验证选项：
   把非公共根 β=r 代入选项d的方程 x² + px + qr = 0：
   r² + pr + qr = r(r + p + q) = r*0 = 0，等式成立。
   同样把另一个非公共根 γ=q 代入，也能得到 q² + pq + qr = q(q + p + r)=0，同样满足方程。

综上，答案是选项d。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Abi Nand