已知ℙⁿ为预簇，如何证明它是代数簇？

我目前的证明起点是：要确认预簇ℙⁿ是代数簇，根据定义，关键要证明ℙⁿ的对角线Δ(ℙⁿ) = {(x,x): x ∈ ℙⁿ}在积预簇ℙⁿ × ℙⁿ中是闭集。

这里我打算借助Segre嵌入来完成这个证明，先回顾一下Segre映射的定义：
φ: ℙⁿ × ℙᵐ → ℙ^((n+1)(m+1)-1)
它将一对射影点([x₀, x₁, …, xₙ], [y₀, y₁, …, yₘ])映射到以所有xᵢyⱼ（0≤i≤n，0≤j≤m）为齐次坐标的射影点，也就是：
φ([x₀,…,xₙ], [y₀,…,yₘ]) = [x₀y₀, x₀y₁, …, xᵢyⱼ, …, xₙyₘ]

当我们取m=n时，这个映射就变成了φ: ℙⁿ × ℙⁿ → ℙ^(n²+2n)（因为(n+1)²-1 = n²+2n）。现在观察对角线Δ(ℙⁿ)中的点：对于任意x = [x₀,…,xₙ] ∈ ℙⁿ，对角线点是(x,x)，它在Segre嵌入下的像为[x₀x₀, x₀x₁, …, xᵢxⱼ, …, xₙxₙ]，这些点满足一个关键的齐次条件：对所有0≤i,j≤n，有zᵢⱼ = zⱼᵢ（这里zᵢⱼ是ℙ^(n²+2n)中的齐次坐标，对应xᵢxⱼ）。

接下来的关键步骤就是：

• 首先说明Segre嵌入φ是一个闭嵌入（即它把ℙⁿ×ℙⁿ同构于ℙ^(n²+2n)中的一个闭子预簇）；
• 然后证明Δ(ℙⁿ)在φ下的像就是ℙ^(n²+2n)中由齐次方程zᵢⱼ - zⱼᵢ = 0（对所有i<j）定义的闭子集；
• 因为闭嵌入的原像如果是闭集，那么原集合在积预簇中也是闭集，这样就能得出Δ(ℙⁿ)是ℙⁿ×ℙⁿ中的闭集，从而证明ℙⁿ是代数簇。

另外还需要补充验证：满足zᵢⱼ = zⱼᵢ的Segre像点，其原像确实是ℙⁿ×ℙⁿ中的对角线点——假设φ([x],[y])满足zᵢⱼ=zⱼᵢ，即xᵢyⱼ = xⱼyᵢ对所有i,j，这等价于[x] = [y]，也就是(x,y) ∈ Δ(ℙⁿ)，这一步是完全成立的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者sc636