{e}为闭集的拓扑群必是T₀且正则的证明疑问

嘿，我来帮你搞定这个正则性证明的卡点！你已经走对了第一步，现在只需要利用拓扑群的核心性质——平移/逆映射的连续性以及邻域的对称化，就能顺利找到g的那个“不相交开邻域”。

先回顾已知条件&前置结论 #

• G是拓扑群，单位元{e}是闭集，你已经证了G是T₀；
• 由{e}是闭集，可推出G是T₁空间：对任意x∈G，左乘x是同胚映射，{x}=x{e}，闭集在同胚下的像仍是闭集，因此所有单点集都是闭集，G满足T₁分离公理。

补全正则性的证明步骤 #

设C⊂G是闭集，g∉C，我们需要找到g的开邻域V和C的开邻域W，使得V∩W=∅。

1. 转换到单位元附近处理
   因为左乘g⁻¹是同胚映射，所以g⁻¹C是闭集（闭集的像仍闭），且e∉g⁻¹C（否则g⁻¹h=e→h=g∈C，与g∉C矛盾）。

2. 利用T₁性质找单位元的邻域
   由于G是T₁，{e}闭，e∉g⁻¹C，因此存在e的开邻域U，使得U∩g⁻¹C=∅。

3. 取单位元的对称邻域
   根据拓扑群的基本性质：对e的任意开邻域U，存在e的对称开邻域V（即V=V⁻¹，逆元构成的集合等于自身），满足V·V⊂U（这里V·V表示所有v₁v₂，v₁,v₂∈V的集合）。

4. 构造所需的开邻域

   • 令V_g = gV：这是g的开邻域（左乘g是同胚，开集的像仍开）；
   • 令W_C = V·C：这是C的开邻域（对每个h∈C，Vh是h的开邻域，W_C=∪_{h∈C}Vh，是开集且包含C）。

5. 验证二者不相交
   假设存在x∈V_g∩W_C，那么x=gv₁=v₂h（v₁,v₂∈V，h∈C）。两边左乘g⁻¹得：v₁ = g⁻¹v₂h → g⁻¹h = v₂⁻¹v₁。
   因为V是对称邻域，v₂⁻¹∈V，所以v₂⁻¹v₁∈V·V⊂U，即g⁻¹h∈U。但g⁻¹h∈g⁻¹C，而U∩g⁻¹C=∅，矛盾！因此V_g∩W_C=∅。

对应你遇到的卡点 #

你已经找到每个h∈C的开邻域Uₕ不含g，其实可以把Uₕ取成Vh（上面的对称邻域V构造的），那么∪_{h∈C}Uₕ=W_C，而V_g=gV就是和它不相交的g的开邻域，完美解决你的问题！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者wjmolinam