技术问询：求证当0<a<b<π/2时，tan⁻¹b - tan⁻¹a < tanb - tana

嘿，你的思路完全走对了！我们只需要在已证结论的基础上往前推一步，用函数单调性就能轻松完成命题证明，具体步骤如下：

1. 明确已知前提与目标命题 #

• 已知：对任意 $x\in(0,\frac{\pi}{2})$，$\tan x > \tan^{{-1}x$（注：$\tan}{-1}x$ 也常写作 $\arctan x$）
• 目标：证明当 $0<a<b<\frac{\pi}{2}$ 时，$\tan^{-1}b - \tan^{-1}a < \tan b - \tan a$

2. 构造辅助函数并分析单调性 #

令辅助函数 $h(x) = \tan x - \tan^{-1}x$，其中 $x\in(0,\frac{\pi}{2})$。我们需要判断这个函数的单调性：

• 求导：计算 $h(x)$ 的一阶导数
  $$h'(x) = \sec^2x - \frac{1}{1+x^2}$$
• 分析导数符号：
  因为 $\sec^2x = 1+\tan^2x$，且在 $(0,\frac{\pi}{2})$ 内，$\tan x > x$（这是一个基础不等式：对 $\tan x - x$ 求导得 $\tan^2x>0$，故该函数单调递增，$x>0$ 时 $\tan x >x$），因此 $\tan^2x >x^2$，代入得：
  $$\sec^2x = 1+\tan^2x > 1+x^2$$
  而显然 $\frac{1}{1+x^2} < 1$，所以 $\sec^2x > \frac{1}{1+x^2}$，即 $h'(x) = \sec^2x - \frac{1}{1+x^2} > 0$。这说明 $h(x)$ 在 $(0,\frac{\pi}{2})$ 上严格单调递增。

3. 利用单调性推导结论 #

因为 $h(x)$ 严格单调递增，且 $0<a<b<\frac{\pi}{2}$，所以必然有 $h(b) > h(a)$，代入函数表达式得：
$$\tan b - \tan^{-1}b > \tan a - \tan^{-1}a$$
将项移项整理后，即可得到：
$$\tan b - \tan a > \tan^{-1}b - \tan^{-1}a$$
也就是我们要证明的命题：$\tan^{-1}b - \tan^{-1}a < \tan b - \tan a$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jason