含二项式系数的有限和求值：求解∑ₖ=⁰ⁿC(n,k)(k/n)xᵏ(1-x)ⁿ⁻ᵏ

嘿，这个求和式的求值其实有好几种直观的方法，我给你一步步拆解清楚：

首先我们可以先处理式子中的$\frac{k}{n}\binom{n}{k}$项，利用组合数的基本恒等式就能简化它：
$$\frac{k}{n}\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1}$$
推导过程很简单，展开组合数就能看明白：
$$\frac{k}{n} \cdot \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{k \cdot n \cdot (n-1)!}{n \cdot k \cdot (k-1)! \cdot (n-k)!} = \frac{(n-1)!}{(k-1)! \cdot (n-k)!} = \binom{n-1}{k-1}$$

注意当$k=0$时，原式中的项是0（因为分子$k=0$），所以我们可以把求和下限调整为$k=1$，原求和式就变成：
$$\sum_{k=1}^{n\binom{n-1}{k-1}x}k(1-x)^{n-k}$$

接下来做变量替换，令$m = k-1$，那么$k = m+1$，求和范围就变成$m$从0到$n-1$，代入后式子变为：
$$\sum_{m=0}^{{n-1}\binom{n-1}{m}x}{m+1}(1-x)^{(n-1)-m}$$

把$x$提出来，剩下的部分就是标准的二项式展开：
$$x \cdot \sum_{m=0}^{{n-1}\binom{n-1}{m}x}m(1-x)^{(n-1)-m}$$

根据二项式定理，$\sum_{m=0}^{{n-1}\binom{n-1}{m}a}m b^{(n-1)-m} = (a+b)^{n-1}$，这里$a=x$，$b=1-x$，所以求和部分等于$(x + 1 - x)^{n-1} = 1^{n-1} = 1$。

最终结果就是$x \cdot 1 = x$。

如果对微积分更熟悉，也可以用导数来解决这个问题：

首先回忆二项式定理的基本形式：
$$\sum_{k=0}^{n\binom{n}{k}t}k(1-x)^{n-k} = (t + 1 - x)^n$$

对等式两边关于$t$求导，左边求导后得到：
$$\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}k t^{k-1}(1-x){n-k}$$
右边求导后是：
$$n(t + 1 - x)^{n-1}$$

现在把$t=x$代入到求导后的等式中：
左边变为$\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}k x^{k-1}(1-x){n-k}$，右边则是$n(x + 1 - x)^{n-1} = n \cdot 1^{n-1} = n$

再看我们的原求和式，它可以改写为：
$$\frac{x}{n} \cdot \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}k x^{k-1}(1-x){n-k}$$

把刚才算出的求和部分的值$n$代入，就得到：
$$\frac{x}{n} \cdot n = x$$

从概率统计的角度看，这个求和式其实是二项分布的期望的$\frac{1}{n}$：

• $\binom{n}{k}x^k(1-x){n-k}$是参数为$n$和$x$的二项分布$B(n,x)$中随机变量$X$取$k$的概率$P(X=k)$
• 原求和式就是$\sum_{k=0}^n \frac{k}{n} P(X=k) = \frac{1}{n}E[X]$

而二项分布的期望$E[X] = nx$，所以$\frac{1}{n} \cdot nx = x$，和前面的结果一致，这也能快速验证答案的正确性。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者EllipticalInitial