高阶导数极值判定：请求解释奇数阶非零导数时无极值的情况

嘿，我来给你把这个n为奇数的情况讲明白——其实核心就抓住极值点的本质：函数在该点左右两侧的单调性必须发生“反转”（左增右减对应极大值，左减右增对应极小值），而n为奇数时，函数在$x_0$附近的变化刚好不满足这个条件。

从泰勒展开式入手分析 #

我们先把函数在$x_0$处做泰勒展开，因为前$n-1$阶导数都为0，所以展开式可以简化为：

$f(x) = f(x_0) + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + o((x - x_0)^n)$
这里的$o((x - x_0)^n)$是高阶无穷小，当$x$足够接近$x_0$时，它的影响可以忽略，我们只需要关注核心的差值关系：$f(x) - f(x_0) ≈ \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n$

接下来是关键：当n为奇数时，$(x - x_0)^n$的符号会随$x$的位置变化直接反转：

• 当$x > x_0$时，$(x - x_0)^n$为正（奇数次方不改变正号）
• 当$x < x_0$时，$(x - x_0)^n$为负（奇数次方保留负号）

分两种子情况验证 #

假设$f^{(n)}(x_0) > 0$：

• $x$在$x_0$左侧时，$f(x) - f(x_0) ≈ 负数$，也就是$f(x) < f(x_0)$
• $x$在$x_0$右侧时，$f(x) - f(x_0) ≈ 正数$，也就是$f(x) > f(x_0)$
  这时候函数在$x_0$左边“低于”$f(x_0)$，右边“高于”$f(x_0)$，完全没有形成极值点需要的“两侧都比它大”或“两侧都比它小”的局面。

假设$f^{(n)}(x_0) < 0$：

• $x$在$x_0$左侧时，$f(x) - f(x_0) ≈ 正数$，即$f(x) > f(x_0)$
• $x$在$x_0$右侧时，$f(x) - f(x_0) ≈ 负数$，即$f(x) < f(x_0)$
  同样，左边函数高于$f(x_0)$，右边低于$f(x_0)$，也不符合极值点的定义。

举个直观的例子 #

比如函数$f(x) = x^3$，在$x_0=0$处：

• $f'(0)=0$，$f''(0)=0$，$f'''(0)=6≠0$，这里n=3（奇数）
• 当$x<0$时，$f(x)<0=f(0)$；当$x>0$时，$f(x)>0=f(0)$
  显然$x=0$处既不是极大值也不是极小值，完美对应我们刚才的结论。

说白了，n为奇数时，$(x-x_0)^n$的符号反转导致$f(x)-f(x_0)$的符号也跟着反转，函数在$x_0$两侧呈现“一边低一边高”的状态，根本没法形成极值点需要的“峰”或“谷”。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者X_Ash_X