组合求和式证明：求证给定二项式求和等式成立

嘿，你已经完成了最关键的第一步化简！接下来处理那个带$k$的求和项其实有个经典技巧——拆分$k$并利用组合数性质，咱们一步步来拆解：

首先，把你得到的式子中的求和项单独拎出来：
$$S = \sum_{k=1}^{n\binom{n-1}{k-1}kx}k(1-x)^{n-k}$$

第一步：拆分$k$ #

把$k$拆成$(k-1) + 1$，这样就能把求和拆成两个独立的部分，方便分别处理：
$$S = \sum_{k=1}^{n\binom{n-1}{k-1}(k-1)x}k(1-x)^{n-k} + \sum_{k=1}^{n\binom{n-1}{k-1}x}k(1-x)^{n-k}$$
咱们把这两个部分分别记为$S_1$和$S_2$，先处理更简单的$S_2$。

第二步：处理$S_2$——直接应用二项式定理 #

做变量替换：令$m = k-1$，当$k=1$时$m=0$，$k=n$时$m=n-1$，代入$S_2$得：
$$S_2 = \sum_{m=0}^{{n-1}\binom{n-1}{m}x}{m+1}(1-x)^{(n-1)-m}$$
把$x$提出来，式子变成：
$$S_2 = x \cdot \sum_{m=0}^{{n-1}\binom{n-1}{m}x}m(1-x)^{(n-1)-m}$$
根据二项式定理，$\sum_{m=0}^{{n-1}\binom{n-1}{m}a}m b^{(n-1)-m} = (a+b)^{n-1}$，这里$a=x$，$b=1-x$，所以求和结果是$(x + (1-x))^{n-1} = 1^{n-1} = 1$，因此：
$$S_2 = x \cdot 1 = x$$

第三步：处理$S_1$——利用组合数性质消去$k-1$ #

先做变量替换：令$m = k-1$，则$k = m+1$，当$k=1$时$m=0$（此时$(k-1)=0$，这一项为0，所以求和可以从$m=1$开始），代入$S_1$得：
$$S_1 = \sum_{m=1}^{n-1}\binom{n-1}{m} \cdot m \cdot x^{m+1}(1-x){(n-1)-m}$$
这里用到组合数的核心性质：$m\binom{n-1}{m} = (n-1)\binom{n-2}{m-1}$（展开组合数公式就能轻松验证），代入后：
$$S_1 = (n-1)x \cdot \sum_{m=1}^{{n-1}\binom{n-2}{m-1}x}m(1-x)^{(n-1)-m}$$
再做一次变量替换：令$t = m-1$，则$m = t+1$，求和范围变为$t=0$到$t=n-2$，代入得：
$$S_1 = (n-1)x \cdot \sum_{t=0}^{{n-2}\binom{n-2}{t}x}{t+1}(1-x)^{(n-2)-t}$$
把$x$再提出来，式子变成：
$$S_1 = (n-1)x^2 \cdot \sum_{t=0}^{{n-2}\binom{n-2}{t}x}t(1-x)^{(n-2)-t}$$
同样用二项式定理，求和结果是$(x + (1-x))^{n-2} = 1$，所以：
$$S_1 = (n-1)x^2 \cdot 1 = (n-1)x^2$$

第四步：合并结果并化简 #

把$S_1$和$S_2$加起来得到$S$：
$$S = (n-1)x^2 + x$$
代入你之前化简得到的原式：
$$\frac{S}{n} = \frac{(n-1)x^2 + x}{n} = \frac{x(1 + x(n-1))}{n}$$
正好和要证明的等式一致！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者EllipticalInitial