求满足W(0)=2及函数方程的多项式W(x)：条件解析与求解问询

先聊聊第二个条件的含义 #

这个条件是一个函数方程，属于柯西方程的变形。它本质上定义了函数在“自变量相加”操作下的运算规则：把两个自变量相加后的函数值，和这两个自变量各自的函数值、它们乘积的2倍关联了起来。里面的交叉项2x₁x₂其实是个提示——这个函数不会是简单的线性函数，大概率是二次多项式。

求解满足两个条件的多项式W(x) #

我一步步给你推导：

1. 锁定多项式的次数范围
   观察条件二的右边有2x₁x₂这个二次交叉项，说明W(x)的最高次至少是二次；如果假设它是三次及以上的多项式，代入条件二后左边会出现三次交叉项（比如x₁²x₂），但右边没有对应项，这些项的系数只能为0，所以三次及以上的项都不存在。因此我们可以设W(x)为二次多项式：

W(x) = ax² + bx + c

2. 用条件一确定常数项
   条件一给出W(0)=2，把x=0代入多项式：

W(0) = a*0² + b*0 + c = c = 2

所以W(x)可以简化成：

W(x) = ax² + bx + 2

3. 代入条件二匹配系数
   先计算左边的W(x₁+x₂)：

W(x₁+x₂) = a(x₁+x₂)² + b(x₁+x₂) + 2 = a(x₁² + 2x₁x₂ + x₂²) + b(x₁ + x₂) + 2

再计算右边的W(x₁) + W(x₂) + 2x₁x₂ - 2：

W(x₁) + W(x₂) + 2x₁x₂ - 2 = (ax₁² + bx₁ + 2) + (ax₂² + bx₂ + 2) + 2x₁x₂ - 2
= ax₁² + ax₂² + bx₁ + bx₂ + 2 + 2 - 2 + 2x₁x₂
= ax₁² + ax₂² + bx₁ + bx₂ + 2 + 2x₁x₂

让左右两边对应项的系数相等：

• 对x₁x₂项：左边系数是2a，右边是2，解得a=1。
• 对x₁²、x₂²项：左边系数是a，右边也是a，已经满足（a=1）。
• 对x₁、x₂项：左边系数是b，右边也是b，无论b取什么值都成立。
• 常数项：左边是2，右边也是2，完全匹配。

4. 最终结论
   所有满足两个条件的多项式是：

W(x) = x² + kx + 2

其中k是任意常数。

随手验证一下（可选） #

比如取k=3，W(x)=x²+3x+2：

• W(0)=0+0+2=2，满足条件一。
• W(x₁+x₂)=(x₁+x₂)²+3(x₁+x₂)+2=x₁²+2x₁x₂+x₂²+3x₁+3x₂+2。
• 右边W(x₁)+W(x₂)+2x₁x₂-2=(x₁²+3x₁+2)+(x₂²+3x₂+2)+2x₁x₂-2=x₁²+x₂²+3x₁+3x₂+2+2-2+2x₁x₂=x₁²+2x₁x₂+x₂²+3x₁+3x₂+2，和左边完全一致，验证通过。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者NiceJJ