在C语言中计算方阵的上Hessenberg形：避免昂贵的矩阵乘法

你说得太对了——用Householder变换转上Hessenberg形时，全尺寸矩阵乘法确实是算力浪费重灾区，毕竟随着i增大，矩阵前i行和列已经是符合上Hessenberg要求的结构，完全不需要再碰它们。而且Householder变换本身有非常规整的结构，完全可以绕开显式构造变换矩阵P，用更轻量的向量运算替代全矩阵乘法。

我给你拆解下具体的优化思路和代码调整方案：

核心原理：用好Householder变换的代数形式 #

你代码里构造的Householder变换P，其实可以写成数学表达式：P = I - 2*v*v^T/(v^T*v)，其中v就是你算出来的Householder向量。当我们要做相似变换H = P*H_old*P时，完全不用真的构造P再做乘法，而是把这个矩阵运算拆成两步向量级的操作，每一步都只处理矩阵中需要更新的部分：

• 先算 tmp = H_old * P，等价于 tmp = H_old - 2*(H_old*v)*v^T/(v^T*v)
• 再算 H = P*tmp，等价于 H = tmp - 2*v*(v^T*tmp)/(v^T*v)

这样一来，原本O(n³)的矩阵乘法，就拆成了几个O(n²)的向量-矩阵/矩阵-向量运算，而且还能跳过所有和前i行/列无关的0块运算，常数项直接降下来一大截。

针对你代码的具体优化步骤 #

我们直接在原矩阵上操作（不用额外开tmp数组也能行，不过分步写更清晰），而且只处理矩阵右下角的子块——毕竟前i行/列已经是上Hessenberg形，动它们纯属浪费：

1. 扔掉全尺寸的P矩阵 #

你代码里花了好大一通构造全尺寸的P，其实完全没必要。Householder变换只影响从第i行/列开始的子矩阵，前面的部分都是单位矩阵的块，根本不用管。

2. 用向量运算替代H*P #

把你原来构造tmp = H*P的三重循环，替换成下面的逻辑：

// 计算 w = H的相关子块 乘以 Householder向量v
double w[d];
for (int a = 0; a < d; a++) {
    w[a] = 0.0;
    // 只处理从i列开始的部分，前面的列不受变换影响
    for (int c = i; c < d; c++) {
        w[a] += H[a][c] * vec[c - i];
    }
}
// 提前把系数2/(v^T*v)乘进去，ins是你代码里的1/(v^T*v)
double coeff = 2 * ins;
for (int a = 0; a < d; a++) {
    w[a] *= coeff;
}

// 更新H的对应子块：H = H - w*v^T
for (int a = 0; a < d; a++) {
    for (int b = i; b < d; b++) {
        H[a][b] -= w[a] * vec[b - i];
    }
}

3. 用向量运算替代P*tmp #

同样，把H = P*tmp的三重循环替换成：

// 计算 u = v^T 乘以 H的相关子块
double u[d];
for (int b = 0; b < d; b++) {
    u[b] = 0.0;
    // 只处理从i行开始的部分
    for (int c = i; c < d; c++) {
        u[b] += vec[c - i] * H[c][b];
    }
}
// 同样提前乘系数
for (int b = 0; b < d; b++) {
    u[b] *= coeff;
}

// 更新H的对应子块：H = H - v*u^T
for (int a = i; a < d; a++) {
    for (int b = 0; b < d; b++) {
        H[a][b] -= vec[a - i] * u[b];
    }
}

额外的小细节优化 #

• 你代码里同时存了A和H，如果不需要保留原始矩阵的话，直接在H上原地修改就行，能省不少内存。
• 计算Householder向量的平方和时，你已经算过一次ins，完全不用重复循环计算，直接复用就好。
• 计算向量范数的时候，可以把平方和的计算和向量初始化合并成一个循环，少跑一次循环也是赚。

优化后的效果 #

整体复杂度虽然还是O(d³)，但常数项至少能降到原来的1/3甚至更低——因为我们跳过了所有和0块的无效运算，而且用更简单的向量运算替代了大量矩阵元素的乘法。尤其是当矩阵尺寸d比较大的时候，这个速度提升会特别明显。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者uran42