求解两类永续年金现值相等时的有效利率i（Exam FM习题）

问题描述 #

Sandy购买一份期末付永续年金（perpetuity-immediate），首年付款100，后续每年付款递增10；Danny购买一份期初付永续年金（perpetuity-due），每年付款180。在相同有效利率(i>0)的情况下，两者现值相等，计算(i)。

该题出自《Study Manual for Exam FM/Exam 2 Eleventh Edition》第4h、4i节第3题

先帮你拆解核心概念，解决章节困惑 #

刚接触递增永续年金、期初/期末年金转换时容易懵，我先把关键逻辑和公式理清楚：

• 期末付固定永续年金现值：每年年末付固定金额(C)，现值公式是(\frac{C}{i})。推导逻辑是把每一笔现金流折现到现在，形成无穷等比级数，求和后得到这个结果。
• 期初付固定永续年金现值：每年年初付固定金额(C)，第一笔钱现在就能拿到，所以现值是(\frac{C(1+i)}{i})——本质是期末付永续年金现值乘以((1+i))，因为所有现金流都提前了一年。
• 期末付递增永续年金现值：首年付(P)、每年递增(Q)的情况，可拆成「固定金额(P)的期末付永续年金」加上「每年递增部分的永续年金」，最终公式是(\frac{P}{i} + \frac{Q}{i^{2})。递增部分的推导是把每年多出来的(Q)看成递延永续年金，求和后得到(\frac{Q}{i}2})。

代入条件求解过程 #

现在把题目数值代入公式，列等式求解：

1. Sandy的期末付递增永续年金现值：(\frac{100}{i} + \frac{10}{i^2})
2. Danny的期初付固定永续年金现值：(\frac{180(1+i)}{i})

根据现值相等列方程：

100/i + 10/i² = 180(1+i)/i

整理方程求根 #

两边同时乘以(i²)消去分母（(i>0)，无意义解）：

100i + 10 = 180(1+i)i

展开并移项成标准二次方程：

180i² + 80i - 10 = 0

两边除以10简化：

18i² + 8i - 1 = 0

用二次方程求根公式(i = \frac{-b \pm \sqrt{b²-4ac}}{2a})（(a=18)，(b=8)，(c=-1)），取正根（利率为正）：

i = \frac{-8 + \sqrt{8² + 4×18×1}}{2×18} = \frac{-4 + \sqrt{34}}{18} ≈ 0.1017

也就是约10.17%。

针对4h、4i章节的补充建议 #

这两节的核心是现金流时间点的理解和年金形式的转换：

• 做题时先画现金流时间轴，把每一笔钱的收付时间标清楚，再对应公式，就不容易搞混期初/期末的区别。
• 如果对递增年金的级数推导困惑，可以先从有限期递增年金入手，再观察期限趋近无穷时的极限情况，就能理解永续公式的来源了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者uytt