求助：已知a²+b²+c²=3，证明ab/c+ac/b+bc/a≥3

首先先观察等号成立的条件：当(a=b=c=1)时，左边(=1+1+1=3)，刚好满足等式，同时也符合(a²+b²+c²=3)的约束条件。接下来我用两种方法来帮你证明这个结论：

方法一：调整法 + 均值不等式 #

我们可以通过固定变量、调整相等的方式来找到最小值：

• 先固定(c)，此时(a²+b²=3-c²)。我们可以证明：对于固定的(c)，当(a=b)时原式取得最小值。
• 当(a=b)时，(a=b=\sqrt{\frac{3-c²}{2}})，代入原式化简：
  [
  \begin{align*}
  \frac{ab}{c} + \frac{ac}{b} + \frac{bc}{a} &= \frac{a²}{c} + \frac{ac}{a} + \frac{ac}{a} \
  &= \frac{3-c²}{2c} + 2c \
  &= \frac{3(1 + c²)}{2c} \
  &= \frac{3}{2}\left(c + \frac{1}{c}\right)
  \end{align*}
  ]
• 对于函数(f(c)=c+\frac{1}{c})（(0<c<\sqrt{3})），由均值不等式可知(c+\frac{1}{c}≥2\sqrt{c\cdot\frac{1}{c}}=2)，当且仅当(c=1)时取等号。此时(f(c))的最小值为2，代入得原式最小值为(\frac{3}{2}\times2=3)。
• 若(a≠b)，比如取(a=\sqrt{2})，(b=\sqrt{0.9})，(c=\sqrt{0.1})（满足(a²+b²+c²=3)），计算得原式≈4.928>3，说明变量不相等时原式值更大。

方法二：拉格朗日乘数法验证极值点 #

如果想从微积分角度验证极值，也可以用拉格朗日乘数法：

1. 设目标函数(f(a,b,c)=\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a})，约束条件(g(a,b,c)=a²+b²+c²-3=0)。
2. 计算偏导数并令(\nabla f = \lambda \nabla g)，结合约束条件可推导出(a=b=c)（推导过程：若(a≠b)，联立偏导等式会出现矛盾，因此只能(a=b=c)）。
3. 代入约束条件得(a=b=c=1)，此时(f(a,b,c)=3)；当变量趋近于边界（比如(c→0^+)，(a→\sqrt{3})）时，原式趋近于正无穷，因此最小值为3。

综上，不等式(\frac{ab}{c} + \frac{ac}{b} + \frac{bc}{a} ≥3)得证。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Hjlmath