请求利用定义证明：右S-模N是环S的子模

嘿，咱们先把核心定义摆出来，这样证明起来逻辑更顺：

• $S$自身作为右$S$-模：$S$靠环里的加法和右乘法就能构成右$S$-模，简单说就是对任意$a,b∈S$、$s∈S$，加法和乘法的分配律、结合律都满足模的要求。
• 右$S$-模的子模：要是$M$是个右$S$-模，$N$是$M$的非空子集，得满足俩条件才算子模：
  1. $N$得是$M$的加法子群——说白了就是$N$里随便两个元素加起来、减完都还在$N$里；
  2. 右乘法得封闭——$N$里的元素乘上$S$里的元素，结果还得在$N$里。

现在题目说$N$是$S$的子集，而且$N$自己就是个右$S$-模，要证$N$是$S$（作为右$S$-模）的子模，咱们一步步来：

第一步：确认$N$是$S$的加法子群 #

既然$N$是右$S$-模，那它本身关于加法肯定是个交换群对吧？那：

• 随便拿$N$里的两个元素$n_1$、$n_2$，$n_1 + n_2$肯定还在$N$里（模的加法封闭性）；
• $N$里有零元，而且因为$N$是$S$的子集，这个零元就是$S$的零元；
• 每个$N$里的元素$n$，它的逆元$-n$也在$N$里，加起来等于零元。

这完全符合$S$的加法子群的要求，所以这一步没问题。

第二步：验证右乘法的封闭性 #

因为$N$是右$S$-模，所以对任意$n∈N$、$s∈S$，$n$和$s$做右模运算的结果肯定在$N$里。而这里$N$是$S$的子集，$S$作为右$S$-模的运算就是环本身的右乘法，所以这个模运算的结果就是环里的乘积$ns$，自然$ns∈N$。

结论 #

这俩条件都满足了，那$N$肯定就是$S$（作为右$S$-模）的子模啦～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者siwar