多项式求值是否为单射？无限域非零多项式取值问询

嘿，这两个代数问题挺经典的，我来给你拆解一下：

答案是不一定，得看多项式的类型和它所在的域：

• 常数多项式：比如任何域$K$上的$f(x₁,…,xₙ)=c$（$c∈K$），不管你代入什么输入，结果都是同一个常数，显然不是单射。
• 一元非一次多项式：比如实数域上的$f(x)=x²$，$f(1)$和$f(-1)$都等于1，不同输入对应相同输出，肯定不是单射；哪怕放到复数域上，$f(x)=x²$也不是单射，1和-1的映射结果完全一样。
• 一元一次多项式（$f(x)=ax+b$，$a≠0$）：这种情况在域上是单射。为啥？假设$f(x₁)=f(x₂)$，那$a(x₁-x₂)=0$，域里非零元素没有零因子，所以$x₁=x₂$，满足单射的定义。
• 多元多项式：哪怕是一次的，比如$f(x,y)=x+y$，$(1,2)$和$(2,1)$都映射到3，不是单射；高次的就更不用说了，比如$f(x,y)=xy$，$(1,2)$和$(2,1)$都得到2，同样不是单射。

总结一下：只有一元一次且首项系数非零的多项式，在域上的求值映射才是单射，其他绝大多数情况都不是。

答案是肯定存在，我们可以用归纳法来证明，刚好你已经掌握了$n=1$的情况，顺着这个思路推就行：

归纳基础：$n=1$ #

你已经知道，无限域$K$上的非零一元多项式$P(x₁)$只有有限个根，而$K$是无限的，所以必然能找到某个$a₁∈K$使得$P(a₁)≠0$，这一步没问题。

归纳步骤：假设$n=k$时结论成立，证明$n=k+1$时成立 #

考虑非零多项式$P(x₁,…,xₖ,xₖ₊₁)∈K[x₁,…,xₖ₊₁]$。我们可以把它看成关于$x_{k+1}$的多项式，系数都是$x₁,…,xₖ$的多项式：
$$P = Q_m(x₁,…,xₖ)x_{k+1}^m + … + Q_1(x₁,…,xₖ)x_{k+1} + Q_0(x₁,…,xₖ)$$
这里$Qₘ≠0$（因为$P$本身是非零多项式）。根据归纳假设，存在$(a₁,…,aₖ)∈Kᵏ$使得$Qₘ(a₁,…,aₖ)≠0$。

现在把$x₁=a₁,…,xₖ=aₖ$代入$P$，就得到了一个关于$x_{k+1}$的一元多项式：
$$P(a₁,…,aₖ,x_{k+1}) = Q_m(a₁,…,aₖ)x_{k+1}^m + … + Q_0(a₁,…,aₖ)$$
这个一元多项式是非零的（因为首项系数$Qₘ(a₁,…,aₖ)≠0$），再用$n=1$的结论，肯定能找到$a_{k+1}∈K$使得$P(a₁,…,aₖ,a_{k+1})≠0$。

这样归纳就完成了，所以不管$n$是多少，无限域上的非零多项式都一定存在非零点。

另外给个直观的逻辑：如果一个多项式在$Kⁿ$上处处为零，那它的所有系数都必须是零（这是无限域特有的性质），反过来，非零多项式就不可能处处为零，必然有某个点代入后结果不为零。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Drike