仿射平面中梯形$T$能否经仿射变换$f$映射为平行四边形$P$？

好问题！直接给结论：不存在这样的仿射变换，咱们一步步拆解原因：

先明确仿射变换的关键性质 #

仿射变换是平面上的双射（一一对应），而且平行性是它的核心“不变量”——这里要注意两个关键点：

• 平行的线段经过仿射变换后，依然保持平行；
• 反过来，原本不平行的线段，经过仿射变换后也绝对不会变成平行的。
  为啥后者成立？因为仿射变换是可逆的，它的逆变换也是仿射变换。如果真有个仿射变换能把不平行的线段变成平行的，那它的逆变换就会把平行线段变成不平行的，这直接违反了“平行性是仿射性质”的定义，所以不可能。

再看梯形和平行四边形的本质区别 #

• 梯形$T$：定义就是只有一组对边平行，另一组对边必然不平行；
• 平行四边形$P$：定义是两组对边都互相平行，没有不平行的对边。

推导矛盾 #

假设存在仿射变换$f$能把$T$映射到$P$：

• $T$的平行对边会被$f$映射成$P$的一组平行对边，这符合仿射性质；
• 但$T$的另一组非平行对边，根据刚才的性质，经过$f$映射后依然得是非平行的——可平行四边形$P$里根本没有非平行的对边，这就产生了矛盾。

所以不管怎么找，都不存在这样的仿射变换。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者M.M.