求方程(1+1/n)^(n+xₙ)=∑ₖ=0ⁿ1/k!的解序列{xₙ}的极限

给定 $x_n$ 是方程
$$\left( 1+\frac{1}{n}\right)^{n+x_n}=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\dots+\frac{1}{n!}$$
的唯一解，我们来推导 $\lim_{n \to \infty} x_n$ 的值。

你最初的判断完全正确，这个极限确实等于 $\frac{1}{2}$，下面来完整推导一下：

第一步：初步的单调性分析 #

首先我们明确两个关键序列的核心性质：

• 序列 $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+\frac{1}{2}}$ 是严格单调递减收敛于 $e$ 的；
• 部分和序列 $S_n = 1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\dots+\frac{1}{n!}$ 是严格单调递增收敛于 $e$ 的。

由此可以直接得到不等式：
$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+\frac{1}{2}} > S_n$$
因为函数 $f(t) = \left(1+\frac{1}{n}\right)^t$ 是关于 $t$ 的严格递增函数（底数大于1），结合原方程 $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+x_n}=S_n$，就能推出 $n+\frac{1}{2} > n+x_n$，也就是 $\frac{1}{2} > x_n$。这说明 $x_n$ 始终小于 $\frac{1}{2}$，完成了一侧的估计。

第二步：利用对数展开细化分析 #

为了证明 $x_n$ 确实趋近于 $\frac{1}{2}$，我们对原方程两边取自然对数：
$$(n+x_n)\ln\left(1+\frac{1}{n}\right) = \ln(S_n)$$

先对 $\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)$ 做泰勒展开到二阶项：
$$\ln\left(1+\frac{1}{n}\right) = \frac{1}{n} - \frac{1}{2n^2} + o\left(\frac{1}{n^2}\right)$$

再看右边的 $\ln(S_n)$：我们知道 $S_n = e - r_n$，其中余项 $r_n = \frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{(n+2)!} + \dots$，可以估计出 $r_n \sim \frac{1}{n!}$（当 $n\to\infty$ 时，这是比 $\frac{1}{n^2}$ 高阶的无穷小）。因此：
$$\ln(S_n) = \ln\left(e - r_n\right) = 1 + \ln\left(1 - \frac{r_n}{e}\right) = 1 - \frac{r_n}{e} + o(r_n) = 1 + o\left(\frac{1}{n^2}\right)$$

把对数展开式代入左边并整理：
$$(n+x_n)\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{2n^2} + o\left(\frac{1}{n^2}\right)\right) = 1 + \frac{x_n}{n} - \frac{1}{2n} - \frac{x_n}{2n^2} + o\left(\frac{1}{n^2}\right)$$

将左右两边相等后进一步化简：
$$1 + \frac{x_n - \frac{1}{2}}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right) = 1 + o\left(\frac{1}{n}\right)$$

两边减去1后乘以 $n$，得到：
$$x_n - \frac{1}{2} + o(1) = o(1)$$

当 $n\to\infty$ 时，$o(1)$ 趋近于0，因此 $\lim_{n\to\infty}x_n = \frac{1}{2}$，这就完整证明了极限值。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者AndrewC