已知n阶方阵A满足三次矩阵方程，求证A可逆的技术问询

API 探路者

2026-5-19

证明方阵A可逆的步骤拆解

别慌，这个证明完全可以顺着题目给的提示一步步推导出来，我帮你把每一步都理得明明白白～

首先得回忆可逆矩阵的核心定义：一个n阶方阵A可逆，当且仅当存在另一个n阶方阵B，使得 ( AB = BA = I_n )（( I_n ) 是n阶单位矩阵），这个B就是A的逆矩阵 ( A^{-1} )。

接下来我们从题目给出的方程入手：

已知 ( A^3 + a_2A^2 + a_1A + I_n = 0 )

步骤1：变形已知方程，凑出含A的乘积项

把等式里的 ( I_n ) 单独移到等式右侧，这样左边就能凑出可以提取公因子A的形式：
[ A^3 + a_2A^2 + a_1A = -I_n ]

步骤2：提取公因子A

利用矩阵乘法对加法的分配律，给左边提取公因子A，得到：
[ A(A^2 + a_2A + a_1I_n) = -I_n ]
这里其实就是题目提示里让你验证的 ( AB = -I_n )（其中 ( B = A^2 + a_2A + a_1I_n )），只是还差一步调整符号就能得到单位矩阵。

步骤3：调整符号得到单位矩阵

给等式两边同时乘以-1，就能得到我们需要的单位矩阵形式：
[ A(-A^2 - a_2A - a_1I_n) = I_n ]

步骤4：验证乘法交换性（BA = Iₙ）

矩阵乘法一般不满足交换律，但这里我们构造的矩阵是A的多项式（由A的幂次和单位矩阵组成），A和它的任意幂次相乘都是交换的，A和 ( I_n ) 相乘也交换，所以：
[
\begin{align*}
BA &= (-A^2 - a_2A - a_1I_n)A \
&= -A^3 - a_2A^2 - a_1I_nA \
&= -A^3 - a_2A^2 - a_1A
\end{align*}
]
再结合最开始的已知方程 ( A^3 + a_2A^2 + a_1A = -I_n )，代入后就能得到 ( BA = I_n )。