已知三球参数，求与三球相切的已知半径第四球的位置

嘿，别慌！久未碰几何思路卡壳太正常了，这个问题其实是经典的三维相切球问题，咱们一步步拆解：

核心思路：利用相切条件列方程求解 #

假设三个已知球的参数如下：

• 球A：中心坐标 $\vec{A}=(x_A,y_A,z_A)$，半径 $r_A$
• 球B：中心坐标 $\vec{B}=(x_B,y_B,z_B)$，半径 $r_B$
• 球C：中心坐标 $\vec{C}=(x_C,y_C,z_C)$，半径 $r_C$
  待求的第四球D：半径 $r_D$ 已知，中心坐标 $\vec{D}=(x,y,z)$ 待求

两球相切的核心条件是：两球中心的距离等于半径之和（外切）或半径差的绝对值（内切）。据此我们可以列出3个方程：

• $||\vec{D} - \vec{A}||^2 = (r_D \pm r_A)^2$
• $||\vec{D} - \vec{B}||^2 = (r_D \pm r_B)^2$
• $||\vec{D} - \vec{C}||^2 = (r_D \pm r_C)^2$

注：每个方程里的±号，外切取+，内切取-，所以总共有$2^3=8$种组合，对应不同的相切方式（比如第四球同时外切三个已知球，或者内切其中一个外切另外两个等）

解方程的具体步骤 #

1. 展开方程并消去二次项
   把每个方程展开，比如第一个方程展开后：

(x - x_A)² + (y - y_A)² + (z - z_A)² = (r_D ± r_A)²

展开左边的平方项后，会得到$x²、y²、z²$项，右边展开后也会有常数项。将任意两个方程相减，就能消去二次项，得到一个关于$x,y,z$的线性方程。

比如用第一个方程减第二个方程，整理后会得到：

2(x_B - x_A)x + 2(y_B - y_A)y + 2(z_B - z_A)z = (x_A² + y_A² + z_A² - r_A²) - (x_B² + y_B² + z_B² - r_B²) ± 2r_D(r_A - r_B)

2. 构建线性方程组求解
   重复上述步骤，得到三个线性方程，组成三元一次方程组。解这个方程组就能得到$x,y,z$的具体值，也就是第四球的中心坐标。

3. 验证解的有效性
   不是所有的±组合都能得到有效解，需要把解代回原方程验证，排除那些不满足相切条件的情况（比如三个已知球的位置和半径无法容纳第四球的情况）。

补充：3D版Descartes定理 #

如果是求第四球的半径，3D版Descartes定理会更快捷，公式为：

k₄ = k₁ + k₂ + k₃ ± 2√(k₁k₂ + k₂k₃ + k₃k₁)

其中$k_i = ±1/r_i$，正号对应外切，负号对应内切。不过你的问题里半径已知，所以还是用上面的方程组方法更直接。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Bamboo