已知a是方程4x²+2x-1=0的一个根，求另一根及解题疑问

首先，咱们先回忆一下一元二次方程的韦达定理（根与系数的关系）：对于标准形式的一元二次方程Ax² + Bx + C = 0，如果它的两个根是x₁和x₂，那么有：

• 两根之和：x₁ + x₂ = -B/A
• 两根之积：x₁x₂ = C/A

针对你给出的方程4x² + 2x - 1 = 0，这里A=4，B=2，C=-1。假设已知根是a，另一个根是b，我们可以用两种方式表示b：

方法1：利用两根之和 #

根据韦达定理，a + b = -2/4 = -1/2，所以直接可以得到：
b = -1/2 - a

方法2：利用两根之积 #

同样根据韦达定理，a*b = -1/4，所以：
b = -1/(4a)

为什么这两个表达式等价？ #

因为a是方程的根，所以满足4a² + 2a - 1 = 0，我们可以对这个式子变形：
4a² + 2a = 1 → 2a(2a + 1) = 1 → 2a + 1 = 1/(2a)

现在看第一个表达式b = -1/2 - a，整理一下：
b = -(1/2 + a) = -( (1 + 2a)/2 )
把上面得到的2a + 1 = 1/(2a)代入，就有：
b = -( 1/(2a) / 2 ) = -1/(4a)
和第二种方法的结果完全一致，所以这两个表达式是等价的。

验证：直接求根对比 #

如果用求根公式直接解这个方程，根为：
x = [-2 ± √(2² - 4*4*(-1))]/(2*4) = [-2 ± √20]/8 = [-1 ± √5]/4

假设a = (-1 + √5)/4，那么另一个根就是(-1 - √5)/4：

• 用b = -1/2 - a计算：-1/2 - (-1 + √5)/4 = (-2 + 1 - √5)/4 = (-1 - √5)/4，正确。
• 用b = -1/(4a)计算：4a = -1 + √5，所以b = -1/(-1 + √5) = -(√5 + 1)/[(√5 - 1)(√5 + 1)] = -(√5 + 1)/4 = (-1 - √5)/4，也正确。

你说结果和选项不符，大概率是选项用了等价的表达式（比如把-1/2 -a化简，或者用-1/(4a)的形式），可以检查一下选项是否和这两个形式等价哦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Abi Nand