求函数$f(z)=\frac{1}{(1-\cosh z)^2}$的洛朗展开主部与收敛半径

嘿，让我们一步步拆解这个问题，搞定函数$f(z)=\frac{1}{(1-\cosh z)^2}$在$z=0$处的洛朗展开主部，以及解析部分的收敛半径：

1. 求$z=0$处洛朗展开的主部 #

首先，回忆双曲余弦的泰勒展开：
$$\cosh z = 1 + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} + \frac{z^6}{6!} + \cdots$$
代入$1-\cosh z$可得：
$$1 - \cosh z = -\left(\frac{z^2}{2} + \frac{z^4}{24} + \frac{z^6}{720} + \cdots\right) = -\frac{z^2}{2}\left(1 + \frac{z^2}{12} + \frac{z^4}{360} + \cdots\right)$$
对该式平方后，分母变为：
$$(1 - \cosh z)^2 = \frac{z^4}{4}\left(1 + \frac{z^2}{12} + \frac{z^4}{360} + \cdots\right)^2$$
因此原函数可改写为：
$$f(z) = \frac{4}{z^4} \cdot \frac{1}{\left(1 + \frac{z^2}{12} + \frac{z^4}{360} + \cdots\right)^2}$$

接下来利用几何级数的导数展开公式$\frac{1}{(1+w)^2} = 1 - 2w + 3w^2 - 4w^3 + \cdots$（当$|w|<1$时成立），令$w = \frac{z^2}{12} + \frac{z^4}{360} + \cdots$，代入后展开并整理：
$$\frac{1}{(1+w)^2} = 1 - \frac{z^2}{6} + \frac{11z^4}{720} - \cdots$$

将结果代回$f(z)$的表达式，得到洛朗展开：
$$f(z) = \frac{4}{z^4} - \frac{2}{3z^2} + \frac{11}{180} + \cdots$$

这里有个关键观察：因为$\cosh(-z)=\cosh z$，所以$f(-z)=f(z)$，即$f(z)$是偶函数，因此洛朗展开中所有奇次幂项的系数均为0，无需额外计算$c_{-3}$和$c_{-1}$。

综上，$z=0$处洛朗展开的主部为：
$$\boxed{\frac{4}{z^4} - \frac{2}{3z^2}}$$

2. 求解析部分的收敛半径 #

洛朗展开的解析部分（非负幂次项）本质是泰勒级数，其收敛半径等于展开中心$z=0$到最近奇点的距离。

$f(z)$的奇点满足$1-\cosh z=0$，即$\cosh z=1$，解得$z=2\pi i n$（$n\in\mathbb{Z}$）。离$z=0$最近的非零奇点为$z=\pm 2\pi i$，它们到原点的模长为$2\pi$。

因此，解析部分的收敛半径为：
$$\boxed{2\pi}$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者agneau