行列式两种求解方法结果矛盾的技术咨询

你遇到的不一致问题，根源是在执行列变换时犯了一个简单的计算错误——这直接导致变换后的行列式不正确，进而得到了错误的根。

让我们一步步拆解：

1. 错误的列变换步骤 #

你提到执行 C1=C1+C2 和 C3=C3+2C2 后得到的行列式第二行第三列元素是 -λ，但这个计算是错的：
原行列式第二行第三列元素是 4，C2第二行的元素是 -2-λ，所以 C3=C3+2C2 的正确计算应该是：
4 + 2*(-2-λ) = 4 - 4 - 2λ = -2λ，而不是 -λ。

2. 正确的列变换与计算 #

我们重新执行正确的列变换：
原行列式：
$$
\begin{vmatrix}
1-\lambda & -1 & 2\
2 & -2-\lambda & 4\
3 & -3 & 6-\lambda
\end{vmatrix} = 0
$$
执行 C1=C1+C2、C3=C3+2C2 后，正确的行列式为：
$$
\begin{vmatrix}
-\lambda & -1 & 0\
-\lambda & -2-\lambda & -2\lambda\
0 & -3 & -\lambda
\end{vmatrix} = 0
$$

现在展开这个行列式（按第一行展开）：
$$
-\lambda \cdot \begin{vmatrix}-2-\lambda & -2\lambda \ -3 & -\lambda \end{vmatrix} - (-1) \cdot \begin{vmatrix}-\lambda & -2\lambda \ 0 & -\lambda \end{vmatrix} + 0
$$
分别计算二阶行列式：

• 第一个二阶行列式：$(-2-\lambda)(-\lambda) - (-2\lambda)(-3) = \lambda^2 - 4\lambda$
• 第二个二阶行列式：$(-\lambda)(-\lambda) - (-2\lambda)(0) = \lambda^2$

代入后得到：
$$
-\lambda(\lambda^2 - 4\lambda) + \lambda^2 = -\lambda^3 + 4\lambda^2 + \lambda^2 = -\lambda^2(\lambda - 5) = 0
$$
解得 $\lambda=0,0,5$，和直接展开原行列式的结果完全一致，且这些根都满足原方程。

3. 为什么错误变换会得到$\lambda=2$？ #

当你错误地将第二行第三列写成 -λ 时，展开错误的行列式会得到错误的多项式：
$$
-\lambda \cdot \begin{vmatrix}-2-\lambda & -\lambda \ -3 & -\lambda \end{vmatrix} + \lambda^2 = -\lambda(\lambda^2 - \lambda) + \lambda^2 = -\lambda^3 + 2\lambda^2 = -\lambda^2(\lambda - 2) = 0
$$
这个多项式的根 $\lambda=2$ 是基于错误的行列式推导出来的，自然不满足原方程。

总结 #

行/列的倍加变换是行列式的等价变换（变换后行列式值不变），只要计算正确，不会引入或丢失根。你的问题完全是变换过程中的计算失误导致的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Primo Raj