如何计算无穷级数$\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(3k+1)(3k+2)(3k+3)}$的值？

我来一步步帮你解决这个无穷级数求和的问题。首先，我们可以通过部分分式分解把通项拆成更易处理的形式，再结合积分和级数求和的技巧来计算最终结果。

步骤1：部分分式分解通项 #

首先，我们对级数的通项进行部分分式分解。对于任意整数 $k$，设：
$$
\frac{1}{(3k+1)(3k+2)(3k+3)} = \frac{A}{3k+1} + \frac{B}{3k+2} + \frac{C}{3k+3}
$$
通过通分并对比分子系数，我们可以解得：

• 令 $3k+1=0$（即 $k=-1/3$），代入得 $1 = A(1)(2) \implies A=\frac{1}{2}$
• 令 $3k+2=0$（即 $k=-2/3$），代入得 $1 = B(-1)(1) \implies B=-1$
• 令 $3k+3=0$（即 $k=-1$），代入得 $1 = C(-2)(-1) \implies C=\frac{1}{2}$

因此，通项可以改写为：
$$
\frac{1}{(3k+1)(3k+2)(3k+3)} = \frac{1}{2(3k+1)} - \frac{1}{3k+2} + \frac{1}{2(3k+3)}
$$

步骤2：用积分表示分式（避免发散项） #

直接对拆分后的分式求和会遇到发散的调和级数，所以我们用积分表示分式：对于任意正整数 $m$，有 $\frac{1}{m} = \int_0^1 t^{m-1}dt$。将其代入通项：
$$
\begin{align*}
\frac{1}{3k+1} &= \int_0^1 t^{3k}dt \
\frac{1}{3k+2} &= \int_0^1 t^{3k+1}dt \
\frac{1}{3k+3} &= \int_0^1 t^{3k+2}dt
\end{align*}
$$

代入通项后得到：
$$
\begin{align*}
\frac{1}{(3k+1)(3k+2)(3k+3)} &= \frac{1}{2}\int_0^1 t^{3k}dt - \int_0^1 t^{3k+1}dt + \frac{1}{2}\int_0^1 t^{3k+2}dt \
&= \int_0^1 \left( \frac{1}{2}t^{3k} - t^{3k+1} + \frac{1}{2}t^{3k+2} \right) dt \
&= \frac{1}{2}\int_0^1 t^{3k}(1-t)2 dt
\end{align*}
$$

步骤3：交换求和与积分顺序 #

现在对级数求和，利用控制收敛定理可以交换求和与积分的顺序（因为被积函数在 $[0,1)$ 上绝对可积）：
$$
S = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(3k+1)(3k+2)(3k+3)} = \frac{1}{2}\int_0^1 (1-t)^2 \sum_{k=0}^{\infty} (t³⁾k dt
$$

注意到 $\sum_{k=0}^{\infty} (t³⁾k = \frac{1}{1-t^3}$（当 $|t|<1$ 时，这是等比级数求和公式），代入后化简分母 $1-t^{3=(1-t)(1+t+t}2)$：
$$
(1-t)^2 \cdot \frac{1}{1-t^3} = \frac{(1-t)^{2}{(1-t)(1+t+t}2)} = \frac{1-t}{1+t+t^2}
$$

因此，求和转化为计算定积分：
$$
S = \frac{1}{2}\int_0^1 \frac{1-t}{1+t+t^2} dt
$$

步骤4：计算定积分 #

我们拆分分子来计算这个积分：
$$
1-t = -\frac{1}{2}(2t+1) + \frac{3}{2}
$$

代入积分式：
$$
\begin{align*}
\int_0^1 \frac{1-t}{1+t+t^2} dt &= -\frac{1}{2}\int_0^1 \frac{2t+1}{1+t+t^2}dt + \frac{3}{2}\int_0^1 \frac{1}{1+t+t^2}dt
\end{align*}
$$

计算第一个积分 #

令 $u=1+t+t^2$，则 $du=(2t+1)dt$，积分变为：
$$
-\frac{1}{2}\int_1^3 \frac{du}{u} = -\frac{1}{2}\left[ \ln u \right]_1^3 = -\frac{1}{2}(\ln 3 - \ln 1) = -\frac{\ln 3}{2}
$$

计算第二个积分 #

先改写分母：$1+t+t^2 = \left(t+\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$，利用积分公式 $\int \frac{1}{x^2+a2}dx = \frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right)+C$：
$$
\begin{align*}
\frac{3}{2}\int_0^1 \frac{1}{\left(t+\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}dt &= \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \left[ \arctan\left( \frac{2t+1}{\sqrt{3}} \right) \right]_0^1 \
&= \sqrt{3} \left( \arctan(\sqrt{3}) - \arctan\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) \right) \
&= \sqrt{3} \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} \right) \
&= \sqrt{3} \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2\sqrt{3}}
\end{align*}
$$

合并积分结果 #

将两个积分结果相加：
$$
\int_0^1 \frac{1-t}{1+t+t^2}dt = -\frac{\ln 3}{2} + \frac{\pi}{2\sqrt{3}}
$$

步骤5：得到最终结果 #

代入 $S$ 的表达式：
$$
S = \frac{1}{2}\left( -\frac{\ln 3}{2} + \frac{\pi}{2\sqrt{3}} \right) = \frac{\pi}{4\sqrt{3}} - \frac{\ln 3}{4}
$$

为了使结果更简洁，我们可以有理化分母：
$$
S = \frac{\pi\sqrt{3}}{12} - \frac{\ln 3}{4}
$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Tiago Emilio Siller