如何进行LU分解？求解Ax=b时LU分解的后续步骤疑问

别担心，你已经搞定了最关键的分解步骤，接下来只需要把原方程拆成两个简单的三角方程组来解就行，咱们结合你的具体例子一步步来：

第一步：解下三角方程组 $Ly = b$ #

因为$A = LU$，原方程$Ax = b$可以转化为$LUx = b$。咱们先令$Ux = y$，这样就得到第一个更容易求解的下三角方程组$Ly = b$。

你的L矩阵和b向量如下：
$$L = \begin{bmatrix}1&0&0\ -1&1&0\ 2&0&1\ \end{bmatrix}, \quad b = \begin{bmatrix} 2\ -4\ 6\ \end{bmatrix}$$
设$y = \begin{bmatrix} y_1 \ y_2 \ y_3 \end{bmatrix}$，展开方程组后用前向替换（从第一行开始，依次代入已求出的未知数）：

• 第一行：$1 \cdot y_1 + 0 \cdot y_2 + 0 \cdot y_3 = 2$ → 直接得到 $y_1 = 2$
• 第二行：$-1 \cdot y_1 + 1 \cdot y_2 + 0 \cdot y_3 = -4$，代入$y_1=2$：$-2 + y_2 = -4$ → $y_2 = -2$
• 第三行：$2 \cdot y_1 + 0 \cdot y_2 + 1 \cdot y_3 = 6$，代入$y_1=2$：$4 + y_3 = 6$ → $y_3 = 2$

最终得到$y = \begin{bmatrix} 2 \ -2 \ 2 \end{bmatrix}$。

第二步：解上三角方程组 $Ux = y$ #

现在用第一步算出的y来解第二个上三角方程组，你的U矩阵是：
$$U = \begin{bmatrix}4&3&-5\ 0&-2&2\ 0&0&2\ \end{bmatrix}$$
设$x = \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \end{bmatrix}$，展开后用回代法（从最后一行开始，倒着求未知数，上三角矩阵最后一行只有一个未知数，最容易算）：

• 第三行：$0 \cdot x_1 + 0 \cdot x_2 + 2 \cdot x_3 = 2$ → $x_3 = 1$
• 第二行：$0 \cdot x_1 -2 \cdot x_2 + 2 \cdot x_3 = -2$，代入$x_3=1$：$-2x_2 + 2 = -2$ → $-2x_2 = -4$ → $x_2 = 2$
• 第一行：$4 \cdot x_1 + 3 \cdot x_2 -5 \cdot x_3 = 2$，代入$x_2=2$和$x_3=1$：$4x_1 + 6 -5 = 2$ → $4x_1 = 1$ → $x_1 = \frac{1}{4} = 0.25$

所以原方程$Ax=b$的解就是：
$$x = \begin{bmatrix} \frac{1}{4} \ 2 \ 1 \end{bmatrix}$$

核心逻辑总结 #

LU分解的优势就是把复杂的矩阵方程拆成两个低难度的三角方程组：

1. 先通过前向替换解下三角的$Ly=b$得到中间向量y
2. 再通过回代法解上三角的$Ux=y$得到最终解x

如果之后需要解同一个A对应不同b的问题，只需要重复这两步，不用再重新分解L和U，能节省不少计算量~

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Liath