单变量离散分布n阶矩的条件期望等式验证问询

嘿，这个问题咱们可以从条件概率和矩的定义一步步推导验证，思路很清晰：

首先明确核心定义：$Y=X|_{X>0}$是X在“X>0”这个条件下的条件离散随机变量，咱们从它的概率分布开始拆解。

1. 先写出Y的概率质量函数（PMF） #

根据离散条件概率的基本定义，对于Y的任意可能取值$k>0$，有：

$P(Y = k) = P(X = k | X > 0) = \frac{P(X=k)}{P(X>0)}$
而$P(X>0) = 1 - P(X=0)$，毕竟X是非负离散变量，要么取0，要么取大于0的值。
至于$k \leq 0$的情况，Y的概率直接是0，因为Y只考虑X>0的情况。

2. 计算Y的n阶矩$E(Y^n)$ #

离散随机变量的n阶矩就是所有可能取值的n次方乘以对应概率的总和，所以：
$$E(Y^n) = \sum_{k>0} k^n \cdot P(Y=k)$$
把第一步得到的PMF代入进去，就变成：
$$E(Y^n) = \sum_{k>0} k^n \cdot \frac{P(X=k)}{1-P(X=0)}$$

3. 关联到X的n阶矩$E(X^n)$ #

X是非负离散变量，它的n阶矩是所有非负取值的n次方乘以对应概率的总和：
$$E(X^n) = \sum_{k=0}^{\infty} k^n \cdot P(X=k)$$
这里注意，当$k=0$时，$0^n = 0$（只要$n \geq 1$，这是关键前提），所以这一项直接消失，剩下的就是：
$$E(X^n) = \sum_{k>0} k^n \cdot P(X=k)$$

把这个结果代入第二步的式子，就能得到：
$$E(Y^n) = \frac{E(X^n)}{1-P(X=0)}$$

小补充：n=0的特殊情况 #

如果n=0的话，任何随机变量的0阶矩都是1（因为$Y^0=1$，$X0=1$），但右边会变成$\frac{1}{1-P(X=0)}$，只有当$P(X=0)=0$（也就是X不可能取0）时才相等。所以这个等式在n≥1时完全成立，n=0是例外情况。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者EllipticalInitial