求证：$1^7 +7^7 +4^7 +1^7 +7^7 +2^7 +5^7 <1741725$是否成立，求解题思路

首先得指出你之前整理式子时的小疏漏：你把$4^7$当成$3 \times 2^{7$啦，其实$4}7=(2²⁾7=2^{{14}$，和$2}7$并不是简单的倍数关系哦。接下来咱们一步步拆解计算，把每个高次幂的值算出来，再求和对比右边的数就一目了然了：

• 先处理重复的低次幂：$1^7 + 1^7 = 1 + 1 = 2$
• 计算$7^{7$：咱们逐步递进相乘，$7}2=49$，$7^3=49 \times 7=343$，$7^4=343 \times 7=2401$，$7^5=2401 \times 7=16807$，$7^6=16807 \times 7=117649$，$7^7=117649 \times 7=823543$，所以两个$7^7$的和就是$823543 \times 2 = 1647086$
• 计算$4^{7$：因为$4=2}2$，所以$4⁷⁼⁽²2)⁷⁼²{14}=2^7 \times 2^7=128 \times 128=16384$
• $2^7$直接计算就是$128$
• 计算$5^{7$：同样逐步相乘，$5}2=25$，$5^3=25 \times 5=125$，$5^4=125 \times 5=625$，$5^5=625 \times 5=3125$，$5^6=3125 \times 5=15625$，$5^7=15625 \times 5=78125$

现在把所有项加起来：

2 + 1647086 + 16384 + 128 + 78125 = 1741725

你看，左边的和刚好等于右边的1741725，所以原不等式$1^7 + 7^7 + 4^7 + 1^7 + 7^7 + 2^7 + 5^7 < 1741725$是不成立的，正确的关系是等于。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者miguel747