证明由拓扑空间X的开稠子集构成的族τ'是X上的拓扑

给定拓扑空间$(X, \tau)$，其中$\tau'$定义为所有满足要么是空集$\emptyset$，要么是$\tau$-开且在$X$中稠密的子集的集合。我们只需验证拓扑的四条核心公理即可：

1. 空集属于$\tau'$ #

根据$\tau'$的定义，$\emptyset$被明确包含在内，这条直接成立。

2. 全集$X$属于$\tau'$ #

首先，$X$本身是$\tau$-开集（这是拓扑$\tau$的基本性质）；其次，$X$在$X$中的闭包就是$X$本身，即$\overline{X} = X$，所以$X$是$\tau$-意义下的稠密集。因此$X$满足$\tau'$的条件，属于$\tau'$。

3. $\tau'$对有限交封闭 #

假设$U_1, U_2, \dots, U_n \in \tau'$，分两种情况讨论：

• 情况1：存在某个$U_i = \emptyset$
  此时$\bigcap_{i=1}^n U_i = \emptyset$，而$\emptyset \in \tau'$，满足条件。
• 情况2：所有$U_i$都是非空的$\tau$-开稠密集
  首先，$\bigcap_{i=1}^n U_i$是$\tau$-开集——因为$\tau$是拓扑，对有限交封闭，而每个$U_i$都是$\tau$-开集。
  接下来证明这个交集是$\tau$-意义下的稠密集：任取非空$\tau$-开集$V \subset X$，由于$U_1$稠密，$V \cap U_1 \neq \emptyset$（稠密性定义：与任何非空开集相交非空），且$V \cap U_1$也是$\tau$-开集（两个开集的交是开集）。
  再看$U_2$，它也是稠密的，所以$(V \cap U_1) \cap U_2 = V \cap (U_1 \cap U_2) \neq \emptyset$。重复这个过程直到$U_n$，最终可得$V \cap (\bigcap_{i=1}^n U_i) \neq \emptyset$。
  这说明$\bigcap_{i=1}^n U_i$是稠密集，因此属于$\tau'$。

4. $\tau'$对任意并封闭 #

设${U_\alpha}_{\alpha \in S}$是$\tau'$中的任意非空子集族，分两种情况：

• 情况1：存在某个$U_\alpha = X$
  此时$\bigcup_{\alpha \in S} U_\alpha = X$，而我们已经证明$X \in \tau'$，满足条件。
• 情况2：所有$U_\alpha$都是非空的$\tau$-开稠密集
  首先，$\bigcup_{\alpha \in S} U_\alpha$是$\tau$-开集——因为$\tau$对任意并封闭，每个$U_\alpha$都是$\tau$-开集。
  接下来证明这个并集是$\tau$-意义下的稠密集：任取非空$\tau$-开集$V \subset X$，由于存在至少一个$U_\alpha$是稠密集，根据稠密性定义，$V \cap U_\alpha \neq \emptyset$。而$U_\alpha \subset \bigcup_{\alpha \in S} U_\alpha$，因此$V \cap (\bigcup_{\alpha \in S} U_\alpha) \neq \emptyset$。
  这说明并集是稠密集，因此属于$\tau'$。
• 补充：若子集族包含$\emptyset$
  空集与其他集合的并等于其他集合的并，上述两种情况已经覆盖了所有可能，因此依然满足条件。

综上，$\tau'$满足拓扑的所有公理，是$X$上的一个拓扑。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者mathqueen459