n×n矩阵置换相似独立不变量及多项式不变量数量问询

首先得明确置换相似的定义：两个n×n矩阵A和B置换相似，当且仅当存在置换矩阵P（每行每列恰好一个1的二进制矩阵），使得$B = P^{-1}AP = P^TAP$（置换矩阵的逆等于它的转置）。说白了，这就是给矩阵对应的有向图重新编号顶点，行和列同步重排。

接下来解答你的两个问题：

1. 置换相似下的独立不变量数量 #

你猜的n²个是对的，但这里的“独立”特指代数独立的不变量（放到连续函数范畴里，就是函数独立的不变量）。

具体拆解来看：

• 把矩阵元素分成两类：对角线元素$x_{11}, x_{22}, ..., x_{nn}$（共n个），和非对角线元素所有$x_{ij}$（$i≠j$，共$n(n-1)$个）。
• 置换相似作用下，对角线元素可以被任意置换（任何对角线元素能映射到其他任意对角线元素），因此关于对角线元素的对称多项式全是不变量——比如幂和$\sum x_{ii}, \sum x_{ii}^2, ..., \sum x_{ii}^n$，这n个多项式是代数独立的，没法互相表示。
• 同理，非对角线元素也能被任意置换（任何非对角线元素能映射到其他任意非对角线元素），关于非对角线元素的对称多项式也都是不变量——比如幂和$\sum_{i≠j}x_{ij}, \sum_{i≠j}x_{ij}^2, ..., \sum_{i≠j}x_{ij}^{n(n-1)}$，这$n(n-1)$个多项式同样代数独立。

把这两部分加起来，$n + n(n-1) = n²$，正好是你猜想的数量。

要注意：这些不变量没法区分所有置换相似等价类（比如存在不同等价类的矩阵，它们的这些幂和完全一致），但它们是最大的独立不变量集合——你找不到更多独立的了。

2. 作为矩阵元素多项式的不变量数量 #

如果是问代数独立的多项式不变量数量，答案还是n²个，和上面一致。

如果是问“所有可能的多项式不变量总数”，那是无限的——因为你可以用这些独立的不变量做任意多项式组合，得到无限多不同的不变量。

从代数不变量理论的角度，置换群（有限群）作用下的多项式不变量环是有限生成的，也就是说你只需要有限个生成元就能构造出所有多项式不变量，但生成元的数量会比代数独立的数量多很多。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者mr_e_man