关于使用First Order Logic形式系统能否创建无限多理论的正确性问询

好问题！答案是肯定的——我们完全可以用一阶逻辑（First Order Logic，简称FOL）形式系统创建无限多不同的理论。下面我来拆解一下背后的逻辑：

1. 从“单语句扩展”就能构造无限多独特理论 #

我们可以从FOL的形式语言中挑选出无限多互不逻辑等价的语句，然后以每个语句为核心（加上它的所有逻辑后承）构建一个理论。举个直观的例子：

• 理论$T_1$：包含语句∃x (x = x)以及它能推导出的所有语句（这个理论其实是所有逻辑重言式的集合，因为∃x (x = x)是逻辑有效式）
• 理论$T_2$：包含语句∃x ∃y (x ≠ y)以及它的所有后承（断言论域至少有2个不同元素）
• 理论$T_3$：包含语句∃x ∃y ∃z (x ≠ y ∧ y ≠ z ∧ x ≠ z)以及它的所有后承（断言论域至少有3个不同元素）
  以此类推，每个$T_n$都和其他所有$T_m$（$n≠m$）不同——因为你没法从$T_n$推导出$T_{n+1}$的核心语句，反过来也不行。光是这一类就能得到无限多理论。

2. 组合不同公理集，扩展出更多差异化理论 #

除了上面这种简单的单语句理论，我们还可以通过组合不同的公理集来构造无限多理论：

• 从空理论开始，逐步添加互不冗余、互不冲突的语句：$T_0$是空集（只包含逻辑重言式），$T_1$是$T_0$加上一个非重言式语句$\phi_1$，$T_2$是$T_1$加上一个不是$T_1$后承的语句$\phi_2$……只要每次加的语句都是“新的”（不能被之前的理论推导出来），就能得到无限多不同的理论。
• 再比如在算术领域，我们可以构造一系列逐步增强的理论：基础皮亚诺算术（PA）、PA加上哥德尔语句$G$、PA加$G$再加另一个独立于PA+G的语句……每一步都能得到一个全新的、更强的理论，这样的序列可以无限延伸。

3. FOL形式语言本身提供了无限多语句基础 #

一阶逻辑的形式语言天生就能生成无限多语法不同的语句——比如不断嵌套量词、组合谓词和函数符号。虽然其中很多语句是逻辑等价的，但我们总能筛选出无限多互不等价的语句，而每个不同的等价类都能对应至少一个独特的理论（比如由该等价类中所有语句的后承构成的集合）。

这里需要明确：我们说的“不同理论”是集合意义上的不同——两个理论$T$和$T'$不同，当且仅当存在某个语句$\phi$，$\phi$属于$T$但不属于$T'$，或者反过来。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Tantaros